Átame

Por las tardes paseo por la arena

y, entre el número infinito de granos

que pueblan la playa, eligen mis manos

un lugar donde formar una sirena.

Y la esculpo tendida en su melena,

que riza y acaricia el sol del verano,

con unos ojos lindos, pero ancianos,

que me despiden de forma serena,

porque al anochecer la dejo sola,

y, mientras me alejo, escucho que el mar,

con su infame rumor de caracola,

lame su cara, su torso, su cola,

y los va logrando desfigurar,

hasta que la sepulta una última ola.

Hace años, estando de vacaciones en Denia, escribí este soneto, no sé bien por qué. Parece que el poema hable de la fugacidad de la existencia, pero también se podría decir que versa sobre las ataduras. La Vida (con mayúscula) nos encapsula en un período de tiempo y luego los avatares de nuestras (minúsculas) vidas nos imponen más restricciones: habitar en un espacio geográfico, con una profesión, entre determinadas personas y permanecer -como la sirena de arena- inmóviles, mientras los elementos rugen. Curiosamente, me acabo de enterar de que la palabra “sirena” podría tener relación (aunque no es seguro) con la griega “seirá”, que significa “cadena, cuerda, atadura”. La razón sería que estas peligrosas damas estaban amarradas a las rocas desde las que entonaban sus cantos irresistibles, con los que atraían a los marineros a la perdición. Ellas fueron condenadas a esperar, encadenadas, la muerte y se consolaban adelantando el fin de otros… Fuere como fuere, es verdad que la vida muchas veces nos aprisiona. Pero entonces se dice que las ligaduras son buenas (¡vivan las “caenas”!), por diversos motivos.

Por lo pronto, las restricciones fomentan la creatividad. Desde hace tiempo venía yo jugando con esta idea y, como la tenía muy presente, me he percatado cuando la he visto reflejada por otros. En este artículo, A. Muñoz Molina, al referirse a la película La isla mínima, destacaba que el film respeta todas las claves del género policíaco y sugería que, cuando el escritor se amolda a un género, renuncia a su libertad, pero también de alguna forma da alas a su creatividad, porque “las normas, al mismo tiempo que imponen límites, también ofrecen posibilidades, y la presión formal a la que someten la inspiración es un acicate y un desafío para ella”. Lo mismo pasa con el propio arte de fabricar sonetos: el corsé de la rima y la métrica ponen al autor ante una lista tasada de palabras y le obligan a combinarlas entre sí y encajarlas en un espacio reducido, como si juntara las piezas de un puzle que está diseñado de antemano. Lo cual es siempre más fácil que enfrentarse al vértigo que genera una página en blanco. En su novela Los Maia Eça de Queiroz también reconoce que “en verso la búsqueda de una rima es con frecuencia responsable de la originalidad de una imagen”. Y generaliza su tesis para afirmar que el estilo disciplina el pensamiento: “cuántas veces el esfuerzo por completar adecuadamente la cadencia de una frase no conlleva nuevas e inesperadas perspectivas de la idea…” Haciendo este pensamiento aún más delgado, más abstracto, podríamos concluir que toda técnica, sin ser todavía arte, nos enfila hacia la inspiración: es repitiendo los ejercicios (los drills) que ordena el maestro como los aprendices se suben a una onda, que a menudo les lleva a desarrollar un talento que supera al de sus profesores.

Tanto me gustaba la idea que busqué referencias a ella en internet. Lamentablemente este tipo de investigaciones, para ser productivas, deben ejecutarse en inglés. Supongo que escribí constraints y creation o algo así. Resultó que existe un libro que desarrolla este tema de modo exclusivo y directo, Creativity from Constraints: The Psychology of Breakthrough, de Patricia Stokes. Y se ha convertido en un lugar común entre los coachs de artistas o profesionales del mundo de los negocios sugerir a sus pupilos que, para encontrar soluciones en sus respectivos oficios, se autoimpongan limitaciones. (Véanse ejemplos aquí, aquí, aquí, aquí o aquí…) 

Es más, la alabanza de los barrotes tiene también predicamento en el plano de las relaciones personales. Empezando por lo menos elevado, recuerdo al protagonista de la novela Los argonautas, de Blasco Ibáñez. Sufrió lo que podríamos denominar el “efecto trasatlántico”: un largo viaje hacia América durante el cual se encontró encajonado ante una mujer romántica, de belleza marchita; en tierra no le habría prestado atención, en el mar le tocó el alma. Hoy en el mundo occidental, la libertad de elección de la pareja es un dogma sagrado. Sin embargo, un profesional indio que conocí hace años me encomiaba las virtudes de su propio modelo, donde los padres eligen por los hijos, guiados por su experiencia… y a veces el estudio del horóscopo, en el cual aquel colega era un avezado experto. Suena chocante, pero es casi más preocupante constatar que en nuestra tan cacareada freedom of choice manda en buena medida, como en todo, el mercado y los clichés que nos transmite. En cualquier caso, hecha de una u otra manera la elección, y admitiendo por supuesto que quepa romper los vínculos cuando son opresivos o simplemente no funcionan, hay que reconocer que permanecer entre las vallas del matrimonio es también una enseñanza. Pasa lo mismo con los trabajos: escapar de una relación - personal o laboral - sólo porque te pone fronteras es una fuga condenada al fracaso, pues las volveremos a encontrar allá donde pretendamos refugiarnos. Para terminar, un ejemplo extremo, ya en un plano espiritual, casi místico: el autor Eckhart Tolle gusta de tomar imágenes de unas u otras religiones, dándoles una lectura peculiar, y en este sentido menciona que la cruz cristiana es un símbolo paradójico: herramienta de tortura que se transforma en instrumento de liberación... Se me dirá que no hace falta llegar a tanto. Bien, es cierto, pero es que para eso están los símbolos, para exagerar: si acepta uno de buen grado la cruz, como Jesús o como Brian en la película de Monty Python (Crucifixion? Yes, please!), ¿cómo no aceptar límites menores? (Ojo, porque aquí “aceptación” no significa resignación ni pasividad: simplemente es constatar que lo que está sucediendo, se podrá o no cambiar, pero en todo caso está sucediendo y hay que jugar a ese juego y escuchar sus mensajes…)

¿Y todo esto por qué? ¿Por qué los límites pueden portar mensajes que nos iluminen? Ya hemos apuntado alguna razón: le liberan a uno de la presión de elegir entre infinitas posibilidades y por otro lado le plantean el reto de sacar partido a un manojo estrecho de opciones… Pero sólo con estas explicaciones me hallaba insatisfecho, hasta que encontré insinuada en este artículo otra que me convenció más, porque las agrupa y las supera, yendo más hondo. Cuando se intenta bucear en las profundidades de las cosas, no queda más remedio que mirar al cerebro. Y la clave para explicar los caprichos de éste es siempre la misma: hay que tener en cuenta que la cabeza es una ahorradora nata; intenta optimizar la energía y, por tanto, tirar de rutinas, de las cosas que hace con los ojos cerrados, sin tener que inventar y de esta forma consumir los valiosos y escasos recursos nutritivos de los que disponemos -se supone- para asegurar nuestra supervivencia. Todo esto es un absurdo, por supuesto: ¡con lo fácil que sería que el cerebro, en lugar de andarse con tantos miramientos, consumiera a mansalva la grasa abdominal! Pues no lo hace y no queda más remedio que forzarle a actuar de otro modo: hay que sacarle de su zona de confort y para ello nada mejor que encerrarle en lugares extraños, obligarle a tomar alimentos exóticos. Observen que, de esta forma, todo parece cobrar sentido, la paradoja se disuelve: no se trata de que al cerebro le inspire lo que le ocultamos al constreñirlo, lo ilumina lo que de esta manera le mostramos: modelos, asociaciones, analogías o recursos en los cuales no habría jamás reparado, si no llegamos a encarcelarlo entre ellos.

Algo así intento en este Blog, con mayor o menor acierto, cuando mezclo disciplinas. Se trata de conducir a la mente a hacer asociaciones inesperadas. No es ésta una tarea que esté bien vista, pues se dice (y es verdad) que los conceptos de una ciencia no se pueden exportar alegremente a otra, como no se puede llevar una pieza de un Audi a un Ford o, peor, de un coche a un tren, y esperar que encaje sin más en el sistema. Se pierde rigor de esta forma, se puede patinar, corre uno el riesgo de estrellarse. Pero, como estamos en un Blog de internet, pensando por amor al arte, todo esto no es grave: no pasará nada, je je.

Ahora bien, volviendo al tema inicial, ¿y la vida? ¿Por qué nos encajona en un momento temporal estrecho, a veces incluso acortando para algunos una trayectoria prometedora, a veces oprimiendo de modo insufrible a los más desafortunados? Todo eso de que el cerebro aprende cuando se le constriñe, ¿qué pinta cuando ganamos altura y adoptamos la perspectiva de la existencia entera? ¿A quién beneficia lo que aprendemos en esta universidad?

Ahí es donde interviene el científico inglés Sir Humphry Davy, al que se refiere la imagen inicial de este post, en la que aparece participando en una charla (¡al parecer las suyas despertaban mucha expectación y se producían atascos en Londres en los alrededores de la sala de conferencias, como ahora cuando pincha un DJ!). Tuve el gusto de conocerle también un verano, no sé si el mismo de la sirena, en el libro de Richard Holmes La edad de los prodigios. Davy fue un químico notable, a la par que poeta. Se dice que blandía el arma de su imaginación con la misma maestría para aislar elementos químicos que para componer versos. Y, sin embargo, mi cerebro, empeñado en optimizar mi energía, ya lo estaba arrinconando al olvido cuando, repasando notas, me topé con este “copia y pega” de una carta suya a un amigo, en la que lamentaba el fallecimiento repentino de otro:

Poor Watt! — He ought not to have died. I could not persuade myself that he would die … Why is this in the order of Nature, that there is such a difference in the duration and destruction of her works? If the mere stone decays, it is to produce a soil which is capable of nourishing the moss and lichen. When moss and lichen die and decompose, they produce a mold which becomes the bed of life to grass, and to a more exalted species of vegetable … But in man, the faculties and intellect are perfected: he rises, exists for a little while in disease and misery, and then would seem to disappear, without an end, and without producing any effect.

Ah, como buen hombre de ciencias y de letras, como amigo del saber, lo que más le dolía a Sir Humphrey es que las facultades desarrolladas por el ser humano, ese conjunto de asociaciones de ideas, esas redes neuronales que nunca son iguales, se pierdan irremisiblemente, sin que nadie las haga suyas y las incorpore a su mente. El biólogo  E.O. Wilson, en su libro La conquista social de la tierra, lamenta que una  biblioteca entera de experiencias e imaginaciones se incendia cuando muere cada ser humano. Pero Davy iba más allá: aunque quedaran de cada uno de nosotros mil obras escritas, no le bastaría eso. Él quería que todas nuestras tribulaciones aprovecharan a otro como si le pertenecieran, como si las hubiera orquestado él mismo para mejorar. En esa misma carta habla, como en broma, de la hipótesis de unos seres superiores que vivieran en un plano distinto, sin que los percibamos, pero que nos observarían, como los niños hacen hoy en el juego de Los Sims o nosotros en las series de televisión... En otra carta, cercana ya su propia muerte, sostiene que somos como agua que se escapa del mar de una inteligencia infinita (al modo del vapor que forma las nubes) y llueve sobre la tierra formando ríos o torrentes, los cuales antes o después vuelven a casa, desembocan en el océano, cargados con el caudal de sus experiencias:

I have this conviction full on my mind, that intellectual beings spring from the same breath of infinite intelligence, and return to it again, but by different courses. Like rivers born amidst the clouds of heaven, and lost in the deep and eternal ocean —some in youth, rapid and short-lived torrents; some in manhood, powerful and copious rivers; and some in age, by a winding and slow course, half lost in their career, and making their exit by many sandy and shallow mouths.  

Nunca sabremos si es así, pero es sin duda una bonita idea, una linda analogía.

Apéndice

Iré poniendo aquí otras citas o fuentes sobre la misma idea:

En ésta se dan ejemplos de la utilidad de las constricciones como acicate para inventar productos.

La Manada y el concepto de multiplicación: una reflexión sobre la abstracción (III)

Volver la vista atrás

Quiero creer que el amable lector de este Blog se quedó en vilo al concluir la lectura de la anterior entrada. Allí explicábamos que los números son adjetivos, aunque todo el rato advertíamos de que empiezan siendo adverbios. ¿Y cómo es eso, se habrá preguntado usted una y otra vez?

Para sacarle por fin de su estado de intriga, retomaremos el ejemplo del monedero. Al principio la bolsa contiene sólo una moneda de 1 €. Multiplicamos por 2 y le imbuimos a nuestro capital “dosismo”, lo hacemos “dososo”. Luego lo multiplicamos por 5 ¿y lo hacemos…? Aquí hay que tirar de la tabla que hemos grabado en el disco duro de la memoria o, lo mismo da, en la calculadora de mano. Se vuelve “diezoso”. ¿Por qué? Una posible respuesta es: “porque sí; si quiere ser usted como nosotros, los expertos, tiene que habituarse a vivir en los cielos de la abstracción, sin mirar jamás hacia abajo; y si no se lo cree, le voy a contar otros cinco o seis conceptos de los más elevados y, como no los va a entender, se quedará mudo y me dará la razón”. Lo mismo pasa en el ámbito jurídico, con la pequeña diferencia de que ahí, con esta misma actitud, se puede justificar una resolución o la contraria. ¿Por qué hay que condenar a “La Manada” por abusos?  Los jueces echaron un vistazo a su particular tabla de multiplicar jurídica y leyeron: para que nos sintamos “seguros”, mediante una aplicación restrictiva de los tipos penales. Y en la calle se consultó otra tabla que conducía a lo opuesto: los acusados deben ser condenados por violación porque es lo “justo”, ya que sabemos que forzaron a la chica.

Sin embargo, a uno u otro resultado (en Derecho) o al único resultado admisible (en las ciencias exactas) se puede llegar también por una vía lenta, aunque más reveladora. Centrándonos en el ejemplo matemático del monedero, en lugar de imaginar una varita mágica que transforma la moneda de 1€ en un billete de 10€, podemos visualizar una mano que entra y sale del monedero repetidas veces, introduciendo cada vez una moneda de 1€. 

Esta es la idea de que multiplicación es “adición repetida”, mucho más aburrida, menos aconsejable para razonar con prisas, pero reveladora de las tripas de la operación. Ah, pero cuidado: los expertos etiquetan esta explicación con la palabreja “MIRA” (Multiplication is Repeated Addition) y la critican, alegando que la idea sólo funciona en puridad para los números enteros positivos, pero empieza a padecer con el cero, los enteros negativos y las fracciones y rechina ya con los números irracionales (aquellos, como el número π, que no pueden ser generados por fracción alguna y tienen infinitos decimales, los cuales no siguen ningún patrón repetitivo…) Y si todavía tuvieran ustedes dudas al respecto -nos dicen los que saben- ¡a ver cómo se las arreglan para entender que un número ha sido sumado i veces, siendo i la unidad imaginaria, raíz cuadrada de -1…!

Lo reconozco. MIRA no lo explica todo. No siempre la multiplicación es adición efectuada de forma repetida o reiterada. Pero es que el concepto bueno no es MIRA, sino otro que suena muy cariñoso en español, MIMA (Multiplication is Modified Addition). Y éste sí resuelve todo aquello. En efecto, cabe juntar cosas de diversas maneras; dicho en términos gramaticales, el verbo sumar admite una miríada de expresiones adverbiales. “Repetidas veces” es el ejemplo señero, el más obvio. Pero caben otros “complementos circunstanciales”, que cubren todos los casos indicados:

•         Cuando el adverbio es cero, esto significa que “no se suma”.
•          Si es un número negativo -n, se “anti-suma” (se resta) n veces.
•          Si es ½, se “semi-suma” (se suma la mitad).
•          Si es otra fracción, se “fraccio-suma” (se suma una parte).
•          Si es un número irracional, se “fraccio-suma” también, si bien hay que hacerlo “de forma aproximada”: aquí por definición no hay fracción que abarque los infinitos decimales del número, pero podemos contentarnos con una que se aproxime a él en la medida apropiada (con el nivel de exactitud que demande cada situación práctica); por ejemplo, multiplicar por el número π se puede visualizar como sumar 3 veces o fraccio-sumar una décima parte (1/10) 31 veces o 314 veces una centésima (1/100)  o 3.141 veces una milésima (1/1000)....
•          Si por fin el adverbio es un número imaginario, confío en poder explicar más tarde cómo se “i-suma”.

[

Ojo, porque para que este planteamiento funcione hay que entenderlo así: si multiplicamos 1€ por 5, por ejemplo, hay que visualizar la mano que entra en el monedero 5 veces, sumando también ese 1€ inicial. Se siente la tentación de pensar: no, bueno, si se multiplica por n, lo que se hace es sumar (n-1) unidades a la unidad de partida. Pero eso no funcionaría a la hora de anti-sumar o restar: si se multiplica 1€ por -5, no se resta 4€ (esto daría 1 - 4 = -3), sino que se resta 1€ 5 veces, contando también el inicial.

El siguiente cuadro sintetiza la idea:

(Advierto que la columna sombreada en amarillo utiliza una notación de mi invención, donde coloco el adverbio encima del signo de la operación para denotar que dicho signo es un adverbio que modifica la operación. Y también que K significa el objeto al que el número adjetiva o con el que se hacen operaciones en la forma que indica el número.)

Y en llegando aquí, debo mencionar ciertas objeciones que los expertos oponen al concepto de MIRA y probablemente opondrían también al de MIMA. Por ejemplo, ¿cómo se desmenuza en forma adverbial la combinación de dos unidades heterogéneas: un metro lineal en determinada dirección multiplicado por otro metro lineal perpendicular al anterior da un metro cuadrado; una unidad de masa por otra de aceleración da otra de fuerza...?

Esto lo resuelve la versión sintética o adjetival muy bien: estamos ante una multiplicación, porque adjetivamos un objeto; de hecho el objeto (por ejemplo, un palo de 1 metro) ya contaba con un adjetivo ("horizontal") y le añadimos otro ("vertical"), formando una unidad compleja, a la que bien podemos bautizar con un nuevo sustantivo ("1 metro cuadrado"). ¿Pero cómo juega la versión analítica o adverbial, cuál sería aquí la suma, efectuada de una u otra manera, en la que quepa descomponer la multiplicación? 

Pues no lo voy a decir. No me da la gana. En una versión anterior de esta entrada, aventuré una explicación, pero la he quitado. A lo mejor pongo algo en el Apéndice, o en otra entrada futura. Pero no quiero contaminar ésta con tal discusión, porque lo que aquí digo es, en cambio, indiscutible. Lo que digo es que, en muchos casos, la multiplicación puede definirse volviendo la vista atrás, mediante un reverse engineering, como suma modificada. Y lo malo de no hacerlo sería que ese prejuicio nos haría perdernos lo mejor de la fiesta, de la fiesta de la abstracción: lo guay de ese conocimiento es que se puede tomar como inspiración cuando toca mirar hacia adelante y escalar la ladder of abstraction.

Volver la vista adelante

Así es, una vez que hemos aprendido a ver el número como un adverbio que desvela cómo se han dado los pasos que componen una suma, hay que olvidarse de ese rol y contemplarlo de nuevo como un adjetivo que sintetiza y codifica dichas operaciones; hay que acuñar un verbo, multiplicar, que significa “atribuir uno de esos adjetivos a una cosa”; y entonces la gracia consiste en repetir el proceso, a partir de esta última plataforma: considerar que también el verbo multiplicar (el oficio de atribuir cualidades) puede ser modificado mediante los mismísimos adverbios que veníamos utilizando. 

Tomemos los más elementales: 2, 0, -1 y 1/2. Aplicados a la suma, significaban, respectivamente, sumar 2 veces, no sumar, anti-sumar y semi-sumar. Ahora comprendemos que, aisladamente considerados, significan operar 2 veces, no operar, anti-operar y semi-operar. Por consiguiente, aplicados a la multiplicación, significarán multiplicar varias veces, no multiplicar, anti-multiplicar y semi-multiplicar.

Naturalmente, esta importación de sabiduría debe hacerse mutatis mutandi, es decir, cambiando lo que haya que cambiar para adaptarse al nuevo contexto. En nuestro caso:

Formalmente, la diferencia es que, en sede de suma, el adverbio se suele colocar junto a la cosa o grupo de cosas a sumar, normalmente delante, a modo de “coeficiente”; en tanto que ahora, cuando el adverbio modifica una multiplicación, se sitúa como un “exponente”, arriba y a la derecha del número por el que se multiplica (que por esto se denomina la “base”). Por eso, a menudo se llama esta operación exponenciar, lo que vendría a ser la versión sintética del verbo (la adverbial o analítica es “multiplicación modificada”).

    

Materialmente, en cuanto al significado de la operación, cambiará lo siguiente:

•          Si el adverbio es un entero y se “multi-multiplica”, quiere esto decir que se va a atribuir una cualidad a un objeto repetidas veces, de forma sucesiva y por tanto acumulativa (el crecimiento exponencial es pues un crecimiento compuesto, donde cada nueva multiplicación opera sobre el resultado de la anterior).
•          Si es cero, “no multiplicar” significa que no se atribuye al objeto ninguna cualidad, lo cual equivale a dejarlo como estaba, lo cual a su vez equivale a multiplicar por 1. 

(Por eso, toda base elevada a cero es 1, incluso 0⁰, pese a que 0 elevado a cualquiera otra base es 0. Es lógico: si el exponente 0 significa "no multiplique usted" a partir de ahí ya da igual cuál sea la base; en cambio, si el exponente es cualquier otro, significará "multiplique por 0 de alguna manera" y eso siempre dará 0...)

•          Si es un número negativo, lo que procede es, en lugar de atribuir una cualidad a un objeto, quitársela (se “anti-multiplica” = se divide; por ejemplo, donde había un 4 = 2x2, dividir por 2 es quitar el adjetivo 2).
•          Si es ½ , se “medio-multiplica”, se medio-asigna la cualidad que representa la base, lo cual significa multiplicar por la raíz cuadrada de la misma (o la raíz de índice m si el exponente es 1/m). 

(También esto es lógico: si multiplicar por 2² es multiplicar por 2x2 = 4, entonces multiplicar por 2^2/2 = 2¹ =2 es multiplicar por raíz de 4 = 2.)

•          Y si es un número irracional, como π, también se “aproxi-fraccio-multiplica”: como en la multi-suma, dependiendo del nivel de exactitud que se pretenda, trataremos a π como 3, como 31/10 o 314/100  o 3141/1000 y así por ejemplo, en este último caso, multiplicaríamos 3141 veces por una raíz (de la base, naturalmente) con índice 1000.
•          Y si por fin el adverbio es la unidad de los números imaginarios (i), es verdad que uno se marea solo de pensar cómo puede “i-multiplicar”, esto es, atribuir la cualidad que representa la base, pero haciéndolo “a la raíz cuadrada de -1”. Esta es la típica cosa que, si fuera un salto y le pidieran a uno hacerlo, le daría miedo hacerlo mal y romperse la crisma…. Sin embargo, veremos pronto que es un salto sencillo.

En este cuadro resumo las distintas modalidades de "multiplicación modificada" y las coloco junto a las de "suma modificada", para que se aprecie bien cómo funciona la analogía: 

(De nuevo advierto que las columnas sombreadas en amarillo utilizan una notación de mi invención, donde coloco el adverbio encima del signo de la operación para denotar que aquel modifica esta última. Y también que K significa el objeto al que el número adjetiva o con el que se hacen operaciones en la forma que indica el número.)

Una visión financiera

Armados con este conocimiento, podemos ponerlo en práctica con un ejemplo financiero, el de un ahorrador que deposita un capital inicial (K_o) en un Banco. La ventaja de este ejemplo es que nos conducirá, casi sin querer, a un nuevo ascenso por la escalera de la abstracción.

Interés simple

Si nuestro ahorrador vive aún en el primer peldaño de la escalera, sólo podrá optar a una operación poco sofisticada, lo que podríamos llamar un crecimiento de su dinero multi-sumativo o multiplicativo: el interés simple. Para consolarle, la entidad financiera le ofrece una tasa de interés extraordinariamente generosa, del 100%. Esto significa que al final de cada año el Banco entrega al depositante una copia exacta de su K_o. Si esto sucede a lo largo de t años, diremos -en la versión adverbial o analítica- que hemos sumado al K_o un clon del mismo (lo hemos doblado) una y otra vez y así hasta t veces, es decir, que lo hemos “t-sumado”. Pero un spot publicitario, para lanzar un mensaje más rápido e impactante, clamaría en versión adjetival: <<confíenos su capital t años y le devolveremos lo invertido más un capital “t-oso”>> o bien <<verá crecer su capital hasta devenir (1+t)-oso”. Lo cual en los más austeros términos matemáticos se expresa así:

K_f = K_o + t K_o = (1 + t) K_o

Supongamos ahora que la entidad financiera, como era previsible, decide bajar la tasa, pero sigue siendo magnánima y ofrece un 50%. En este caso, diremos: en la versión adverbial, que anualmente al K_o no se suma, sino que semi-suma un clon del mismo; en la adjetival, que el K_o deviene “(1+medio-t)-oso”.

Generalizando, para que la fórmula valga para cualquier tasa, podemos llamar a “r” a la fracción en la que se concreta la tasa de interés (por ejemplo, 50%=50/100=1/2=0,5) y la fórmula queda definitivamente así:

K_f = K_o + rt K_o = (1 + rt) K_o

Adviértase que, si el panorama financiero se complica, el Banco puede limitarse a conservar el dinero, sin remunerarlo: en forma adverbial, “no suma”; en la adjetival, da un interés “ceroso”. Y si la operación tiene riesgo, r será negativo, en cuyo caso se “anti-suma” o al menos se “fraccio-anti-suma”… (¡y no me obliguen a decir esto último con adjetivos!).

Interés compuesto

Ahora bien, si el ahorrador es audaz y osa subir por la escalera de la abstracción, podrá espetarle a su Banco: “oiga, esto de multi-sumar o multiplicar por t el  K_o es muy aburrido; ¿por qué no me lo multi-multiplica o exponencia?” Lo que de esta forma pide el depositante es que no se le pague interés simple, sino compuesto. Conforme a este arreglo, cada año el interés no se extrae de la cuenta, sino que engrosa el capital, participando así en la generación de interés en el siguiente período. De este modo, si de nuevo partimos de la generosa tasa de interés del 100%, sucederá que anualmente lo que se dobla no es el K_o, sino la inversión acumulada hasta la fecha. La fórmula es ésta:

K_f =  2^t K_o

¿Y si en lugar de pagar un 100% el Banco reduce el tipo? Me lanzo a consignar la fórmula aplicable y la comento a continuación:

K_f = (1+r)^t K_o

Es importante destacar que la fracción r se halla en el piso de abajo, como coeficiente, no en el de arriba, como exponente. A lo mejor esperaban ustedes que dijera que, por efecto de un r < 1, se empieza a semi-multiplicar (con una tasa del 50% = 50/100 = ½ = 0,5) o de otra manera fraccio-multiplicar. Eso procedería, efectivamente, si r viviera en el ático: en ese caso al semi-multiplicar (exponente = ½), multiplicaríamos por raíz cuadrada de la base; o si el exponente fuera 1/3, multiplicaríamos por raíz cúbica de la base y así sucesivamente. Pero no funciona así la fórmula del interés compuesto. Estamos ante una exponenciación poco ambiciosa, porque sólo modifica la operación inferior (la multiplicación) de la manera más obvia, haciéndola múltiple o compuesta: como veíamos antes, lo que cada año se multiplica por una base no es el capital inicial sino el acumulado, pero esta operación anual bien puede verse como una suma o fraccio-suma (si se dobla la inversión acumulada porque r=1, a la misma se le suma un clon completo; si r<1, se fraccio-suma ese clon…).

Interés compuesto y continuo

Ahora bien, las cosas cambian cuando un ahorrador ambicioso discurre así: sería ideal que me pagaran el interés con más frecuencia que la anual (t*n), para que devengue antes capital y se ponga a producir, digamos, cada trimestre (t*4) o cada mes (t*12) o cada día (t*365)… Naturalmente, en ese caso el interés a abonar al final de cada período infra-anual será proporcionalmente menor (r/n), pero incluso así la operación puede ser ventajosa. En el extremo, podríamos calcular qué sucede cuando el interés se paga cada instante, esto es, con una frecuencia que tiende a infinito. La siguiente fórmula expresa esta idea:

Y aplicando las técnicas del cálculo infinitesimal (véase el Apéndice), resulta que esto es equivalente a (suponiendo un interés del 100%), en lugar de doblar la inversión cada año, multiplicarla por el famoso número e, cuyo valor es 2,718 más una serie infinita de decimales. De este modo la anterior fórmula se puede expresar de esta otra forma, mucho más elegante:

Nótese que ahora ya por fin la fracción r no habita en el piso bajo, a modo de coeficiente (como en el interés compuesto ordinario), sino que ha ascendido a exponente y la encontramos en el piso de arriba. Esto conlleva que, si queremos aplicar una salomónica tasa del 50%, la inversión acumulada ya no se multiplicará por 1+ 1/2 = 1,5 de su valor, ni nada semejante, sino que se medio-multiplica por e, o sea, se multiplica por raíz cuadrada de e = 1,648… Esto es muy importante. En algún momento yo entendí qué significaba este cambio, pero se me estaba olvidando. Me he tenido que ir a la cama pensando en ello y por la mañana me ha vuelto la inspiración, afortunadamente, porque esto es la clave de bóveda del edificio. La razón queda muy clara con nuestro modelo gramatical. El número e es un adjetivo que condensa, de modo sintético, una serie de operaciones que conviene recordar: hemos tomado el K_o y, dentro de cada período anual, lo hemos doblado (multiplicado por 1 + r = 1 + 1 = 2) en un número de ocasiones tendente a infinito (n à ∞), si bien ajustando proporcionalmente la tasa (1/n). ¿Por qué elegimos esa tasa tan poco común (100%)? Bueno, alguna había que elegir. Y al fin y al cabo el 2 que utilizamos al doblar es el estándar natural, es la “unidad” de la multiplicación (la de la suma es 1, pero si multiplicamos por 1 dejamos el resultado igual…). Así las cosas, cuando queremos reintroducir una tasa más realista, no queda más remedio que hacerlo abarcando todo ese sinfín de operaciones y la forma de hacerlo es empaquetando las mismas en el adjetivo e y multiplicando por el mismo “a la r”, con lo cual se logra que este adverbio (r) deje su huella en todas las operaciones ocultas en las entrañas de e…

(Como prueba, cuando miren el Apéndice, verán que la demostración matemática de la fórmula, lo que en puridad dice, es esto mismo.)

Por consiguiente, casi sin darnos cuenta, hemos ascendido otro peldaño en la escalera de la abstracción: hemos descubierto una nueva manera de multiplicar (la continua), hemos conseguido codificarla en un adjetivo y bien podemos acuñar un nuevo verbo para denotar el acto de atribuir a un objeto esa propiedad. Puesto que el número e se suele denominar “número de Euler”, podríamos llamar a este verbo de nuevo cuño “eulerizar”, en el bien entendido de que (en forma analítica) significa multiplicar de forma compuesta y continua a una tasa del 100% (r = 1) durante una unidad de tiempo (o las que indique su exponente t).

Llegados a este punto, estamos a un pasito de entender lo que se suele afirmar que es una de las fórmulas más bellas de la matemática, la identidad de Euler, que tiene este aspecto:

El reto es captar cómo se multiplica por e, cómo se "euleriza" (= se multiplica por 2, de modo compuesto y continuo) “a la i” y "a la π". Lo veremos en la parte (IV) de esta serie.

APÉNDICE

Cómo se obtiene en cálculo la fórmula del interés compuesto y continuo

Partimos de la fórmula que se corresponde con la definición del crecimiento compuesto y continuo:

El truco es pensar en un número m cuyo valor fijamos en n/r.

Por tanto, n = mr y podemos sustituir n en la fórmula por esta última expresión:

Si n tiende a infinito, también m tiende a infinito. 

Y se sabe que la expresión en rojo con m tendente a infinito tiene su límite finito (converge) en el número e, con lo cual ya hemos concluido.

Pues bien, suele suceder que este tipo de demostraciones tan matemáticas, si lo piensa uno bien, debidamente traducidas al lenguaje natural, dicen una obviedad. En este caso, la misma que proponía arriba: que si queremos quitar la r del paréntesis, podemos hacerlo, pero entonces esto conduce a que la r desaparecida reaparezca como exponente, porque esto es la forma de obligar a que las operaciones que encierra dicho paréntesis se verifiquen "r-mente", esto es, que cuando multipliquemos por e lo hagamos fraccio-multiplicando en los términos que indique r.

La Manada y el concepto de multiplicación: una reflexión sobre la abstracción (II)

The weakest living creature, by concentrating his powers on a single object, can accomplish something. The strongest, by dispensing his over many, may fail to accomplish anything. The drop, by continually falling, bores its passage through the hardest rock. The hasty torrent rushes over it with hideous uproar, and leaves no trace behind.

Thomas Carlyle, essayist and historian (4 Dec 1795-1881)

(Cita tomada de Wordsmith.org)

Mientras llegaba la segunda entrega de este artículo, ha progresado el caso “La Manada”: se ha dictado la sentencia del TSJ de Navarra que resuelve el recurso de apelación contra la dictada por la Audiencia Provincial. El fallo confirma la condena por abusos, en lugar de violación. Y se suceden las manifestaciones de repulsa, en la calle y de los políticos. Las de la calle me inspiran comprensión y simpatía, porque son una reacción emocional. Las de los políticos, empero, me dejan más perplejo. Aquí el problema, como pasó recientemente con el AJD de las hipotecas, es que estamos ante una norma ambigua y si hubiera que enmendarla, que se haga, después de un estudio profundo y sereno. Ese es el oficio de los gobiernos y legisladores. Pero no me parece justo cargar, con mayor o menor comedimiento, contra los jueces, como si fueran retrógados, cuando ellos no han hecho más que aplicar la Ley vigente conforme a una interpretación que, si peca de algo (y creo que en efecto peca), es de mostrar excesivo respeto por los principios más progresistas.

En efecto, como la imagen de arriba (¿hacia dónde va el tren?), el Código Penal español presenta aquí un punto oscuro o ambiguo. Estas situaciones en las que el delincuente no utiliza amenazas, expresas o tácitas, pero sí crea una “atmósfera coactiva”, están a caballo entre la “agresión” y el “abuso”: se puede juzgar que esa atmósfera intimida y tuerce la voluntad (violación) o que por el contrario genera una situación de incapacidad de expresar dicha voluntad (abusos). De este modo, puestos a construir una analogía, cabe hacerlo estirando el concepto de violacion o el de abuso. La paradoja es que lo progresista (lo garantista, lo que protege al ciudadano frente a la arbitrariedad del poder) es entender que en el Derecho Penal no cabe la analogía en contra del reo y menos cuando ello conlleva apartarse de una línea jurisprudencial anterior. En razón de lo cual, no me extraña que nuestros jueces, que están educados en la observancia de esos valores, se hayan decantado por la condena más liviana. Ciertamente, eso supone optar a ciegas por un valor abstracto (la seguridad jurídica, el principio de legalidad), sin plantearse a fondo cuál es su razón de ser. Es lo que hizo el Tribunal Europeo de Derechos Humanos en el caso Parot, lo cual no me gusta, porque (como mantenía aquí) es un planteamiento maximalista que no hace la debida ponderación con el otro valor en liza, que es la justicia. Por eso pienso que aquí también cabe otro enfoque, el que sugiero en la parte (I) de este comentario y de nuevo resumo. Consiste en revolver en el concepto de intimidación, a la luz del objetivo que persigue la norma, con el fin de hallar una forma de mejor proteger los derechos de la víctima, que quepa dentro del tenor literal y el espíritu de la disposición. Esto es posible, creo que sería una forma moderna de entender el Derecho Penal, donde el Juez ya no sea un autómata que aplique un algoritmo, sino una computadora dotada de inteligencia artificial, que lee los big data de los avances científicos y sociológicos y constata de esta manera que la mayoría de las mujeres objeto de un ataque sexual se quedan paralizadas, como estrategia autoprotectora, de modo consciente o inconsciente, en razón de lo cual inaplicar el tipo de violación en estos casos equivale a privarlo de buena parte de su contenido. En definitiva, en la tensión entre seguridad y justicia, se trata de buscar maneras de dar más juego a la segunda, sin que sufra demasiado la primera. Se trata de decidir a dónde queremos que vaya el tren, con base en un análisis ponderado. Ahora bien, si uno se lo toma esto como si fuera el River – Boca disputado ayer en Madrid, si uno es un forofo incondicional de la justicia en detrimento de la seguridad, entonces para ser coherente, si se significa ahora discrepando de los jueces españoles por castigar con 4 o 5 años menos a los brutos de La Manada, debió haber protestado con igual vehemencia ante la sede del Tribunal de Derechos Humanos de Estrasburgo, cuando éste (caso Parot) propició la salida de asesinos múltiples de las cárceles, sacrificando también la justicia en aras de la seguridad jurídica…

Pero lo prometido es deuda y vayamos a un comentario de corte parecido, esta vez en el ámbito matemático. Creo que esto es muy útil para las gentes de letras, porque les puede reportar, por una vía amigable, la satisfacción de comprender (tan bien o incluso mejor que los expertos) ciertas cosas que antes les parecerían crípticas. En cualquier caso, este ejercicio entrena en el arte de pensar con claridad, que es algo útil a todos los efectos. (Ello justifica la cita de Mr Carlyle reflejada al principio; dejo como deberes para el lector deducir por qué…) 

Al tajo, pues. Al adentrarnos en la selva matemática, el riesgo (al que a veces nos inducen los gurús y eminencias de esta disciplina) es también (como pasaba en los casos Parot o La Manada) aceptar los conceptos abstractos, los que están en las cimas de la escalera del razonamiento, sin intentar indagar cuáles son, uno por uno, los peldaños que conducen hasta ellos. En concreto, está de moda afirmar que lo que nos enseñaban en el colegio (la multiplicación es suma repetida) está muy equivocado, pues la multiplicación sería algo distinto e independiente de la suma. Aquí y aquí pueden ver ejemplos de esa crítica contra lo que se llama el error del MIRA (Multiplication is Repeated Addition).

Yo creo que esto es en parte verdad y en parte mentira. Es verdad que, si se quiere definir la multiplicación con una esencia que esté presente en todas sus modalidades, hay formas mejores de hacerlo que con el MIRA; incluso me parece que la que suelen emplear los gurús se queda estrecha y existe otra más delgada, más abstracta y por ende omnicomprensiva. Pero, por otro lado, no renuncio a ligar ese espíritu, ese patrón, con la operación más sencilla, la suma; el ejercicio puede fallar en algún punto, mas siempre es loable porque enseña a pensar buscando en la base el fundamento de la cima; es más, ayuda a subir más alto, mediante el sencillo expediente de repetir el mismo mecanismo que nos permitió progresar hasta esa misma cota, que ahora se convierte en plataforma para un nuevo salto.

Para ambas cosas, me intento servir de un modelo para entender las mates que está basado en la gramática. Al fin y al cabo, el matemático es también un lenguaje, como el español o el inglés, y deberían existir unas claves que permitan traducir del uno a los otros. La clave que vengo usando, y la verdad es que me resulta fructífera, es advertir que los números son adjetivos y son adverbios.

Comencemos con lo de los adjetivos, que sirve para dar con una definición de la multiplicación que suena bien y llega lejos.

Nada descubro si recuerdo que la gramática clasifica los números como adjetivos “cardinales”, que nos informan sobre una cualidad o propiedad de una cosa, relativa a su cantidad. Por ejemplo, si uno ve el número 4, en realidad lo que debe imaginar es un monedero y pensar que éste tiene una propiedad, un atributo, una cualidad: es “cuatroso”, tiene “cuatrismo”, lo que puede significar que contiene 4 monedas de 1 €. (Ojo, porque es importante añadir mentalmente el sustantivo: a menudo las matemáticas nos sitúan frente a un número y nos sentimos obligados a entenderlo tal cual, mas esto pone en un apuro a la mente, porque ella busca la analogía con las cosas de la realidad y en la vida práctica no solemos ver adjetivos, y menos de los cardinales, que anden por ahí sueltos… Veremos cómo esta reflexión se revela también útil cuando hablemos del número e.)

Pues bien, la multiplicación consiste en atribuir a un objeto un adjetivo, una propiedad. O si la cosa ya está adjetivada (recordemos nuestro monedero contenedor de 4 monedas), el producto con otro guarismo (2, por ejemplo) es una combinación de cualidades: podemos imaginar que una varita mágica roza cada una de las 4 monedas originarias, que eran de 1€, y las convierte en piezas de 2€. De esta forma el monedero pasa a ser “cuatroso” y “dososo” a la vez, o sea, “ochoso”.

Esto se parece a la definición alternativa de multiplicación que dan los expertos, los cuales hablan de scaling, que podemos traducir por redimensionamiento: hemos escalado el monedero (el multiplicando) haciendo crecer todas y cada una de sus unidades en la proporción que indica el multiplicador (2).

Sin embargo, el modelo "multiplicar es adjetivar" es una idea más estilizada, que se maneja mejor a la hora de encajar en situaciones novedosas. Por ejemplo:

1º           Pensemos en un palo de 1 m de longitud. Lo multiplicamos por -1, con lo cual el extremo del palo sigue estando a la misma distancia del origen, pero mira en sentido contrario. No hay en realidad redimensionamiento (el valor absoluto es el mismo). ¿Se podría decir entonces que la cualidad atribuida al objeto consiste en una nueva orientación, esto es, estar colocado mirando desde el origen hacia la izquierda? En puridad, no, porque si volvemos a multiplicar por -1, no le atribuimos al objeto más de esa cualidad (mirar a la izquierda), sino que lo devolvemos al punto de partida (-1 por -1 es +1). Podíamos entonces afirmar que la cualidad asignada es "relativa" y consiste en invertir el objeto, ponerle mirando para el lado contrario al de partida. Sin embargo, yo diría directamente, anticipando lo que viene a continuación, que el atributo con el que hemos adornado al palo es el de estar rotado 180 grados (disfrutar de medio giro), respecto de su posición inicial. 

(Aunque esto es un poco hacer spoiling, porque ya cuento algo de  la versión adverbial, diré que un palo rota cuando se tira del mismo "perpendicularmente", en lugar de longitudinalmente o en paralelo con su extensión. En el Apéndice detallo por qué.)

2º           ¿Y si queremos dotar al palo de marras de una cualidad intermedia, la de estar rotado 90 grados (un cuarto de giro)? En este caso debemos multiplicar no por -1, sino por aquello que (multiplicado dos veces) daría -1, esto es, por raíz cuadrada de -1. Esta cualidad recibe una denominación especial, la de número imaginario y se denota con la letra i. También se puede atribuir varias veces: hacerlo en 2 ocasiones equivale a multiplicar por -1 (giro de 180 grados), hacerlo 3 es multiplicar por -i (270 grados) y hacerlo por 4 es como multiplicar por 1 y devuelve el palo al punto de partida (360 grados).

(Los números quedan así divididos en dos grandes categorías: reales e imaginarios. La nomenclatura es por supuesto engañosa: en realidad, como sabemos, todos los números son adjetivos y, por tanto, abstracciones; todos son en puridad imaginarios; lo real y tangible son sólo las cosas que adjetivan.) 

3º          Hasta ahora hemos multiplicado el palo bien por un número real (redimensionándolo) o por otro imaginario (rotándolo), pero esto último lo hemos hecho siempre de forma que el buen palo aterrizaba siempre sobre un eje. ¿Y si queremos  más flexibilidad, esto es, la capacidad de imprimir al palo las dos cosas a la vez, escalado y rotación y además una rotación más variada, que pueda acabar en cualquier ángulo intermedio? Para esto necesitamos multiplicarlo por un número complejo, es decir, uno que combina las dos cualidades, los dos adjetivos: uno que rota y otro que re-escala. De este modo, la combinación del palo con un número complejo lo estirará y le dotará de un ángulo. Y la multiplicación de dos complejos entre sí conlleva también la combinación de adjetivos longitudinales (se multiplican los radios) y rotacionales (se suman los ángulos). 

(Dos cositas: Una, aquí estoy viendo el número complejo en la forma polar-exponencial, que es la que separa el radio -re-escalable y re-escalador- del ángulo. Esto no coincide con la parte real y la parte imaginaria, pues estas mezclan ambas cosas. Lo explico ene l Apéndice. Otra cosa,  ¿pero por qué se "suman" los ángulos? ¿Por qué en este aspecto la multiplicación se resuelve en suma? No lo podemos explicar aún, porque nos hemos adelantado a examinar  la versión adjetival de los números, que es la sintética, la que condensa en un adjetivo un conjunto de operaciones; para entender esta cuestión, necesitamos dar un paso atrás, abordando la versión adverbial, que es la que desvela precisamente ese conjunto de operaciones. Lo haremos más adelante.)   

4º           Entremos ahora en el mundo de los vectores, que son objetos que -también- reúnen varias cualidades. La verdad es que un número complejo, que tiene dos componentes, y un vector de dos dimensiones, se parecen bastante. Pese a todo, son objetos distintos. La distinción, por lo que he visto, suele hacerse de muy diversas formas y genera cierto debate. Volveremos a este tema. Aquí mencionaré una forma de distinguirlos que viene a cuento, que es la que atiende a cómo funciona la multiplicación en cada ámbito. Así los números complejos encierran dos adjetivos, es cierto, pero ambos se combinan plenamente en su multiplicación.  Por su parte, los vectores se pueden descomponer en múltiples dimensiones (típicamente, direcciones, aunque puede haber otras modalidades), que podemos ver también como adjetivos, y hasta pueden tenerlas infinitas (en cuyo caso hablamos de funciones, las cuales pueden ser de hecho funciones reales o complejas), pero nunca se multiplican todas ellas en su integridad: en el llamado producto punto o producto escalar (dot product) sólo se mezclan los adjetivos de los vectores (sus magnitudes o módulos en diversas dimensiones) en la medida en que coinciden (apuntan en la misma dirección, en el caso típico) y en el producto cruzado o producto vectorial (cross product) sólo en tanto y cuanto dichas cualidades difieren (apuntan en direcciones distintas).

(En el Apéndice explico cómo se consigue lo uno -combinar todo, en los números complejos- o lo otro -combinar sólo lo que se comparte o lo que no se comparte- mediante operaciones matemáticas.)

5º           Por fin, en las lecciones sobre cálculo infinitesimal uno se enfrenta a integrales. Por ejemplo, tiene una función que representa la velocidad de un coche y lo que quiere es saber cuánto se ha desplazado en determinado lapso de tiempo. En el fondo esto es un producto de lo más vulgar: se multiplica la velocidad por el tiempo transcurrido, digamos 10 km/h x 4 horas. En nuestra terminología, se le dota a esa velocidad de 10 de “cuatrismo” o al 4 de “diecismo”. El problema al que se enfrenta el cálculo es que la velocidad sea variable a lo largo del tiempo. Lo soluciona multiplicando la velocidad en cada instante (o momento de tiempo infinitamente pequeño) por el instante correspondiente y sumando los resultados. Lo cual no deja de ser un producto plural, en el que participan infinitos actores, cada uno de los cuales se lleva su adjetivo o cualidad, y al final se suman las contribuciones de todos.

Y me dejo otras operaciones análogas, que iré añadiendo a este post en cuanto tenga ocasión. Pero sirve esto para, simplemente, apuntar la idea de que la multiplicación pulula por toda la matemática, aunque lo haga disfrazada y que, para desenmascararla (y comprender cómo funciona en cada una de sus variedades), vale esta idea omnipresente: un producto, con sus diversas caras, siempre consiste en adjetivar una cosa, atribuirle una cualidad. 

Naturalmente, con las anteriores explicaciones no se entienden del todo las anteriores figuras ni otras afines, pero tampoco he podido explicarlas más porque, para comprenderlas, se requiere la perspectiva que nos falta, la analítica, la que se aplica a desentrañar qué operaciones ha sido preciso realizar y de qué manera para alcanzar las cualidades que luego se condensan en los correspondientes adjetivos. Es decir, la perspectiva adverbial, que abordaremos en una próxima entrada del Blog.

APÉNDICE:

¿Por qué tirar en perpendicular es "rotar"? 

Imaginemos un palo sujeto a un soporte mediante una anilla. 

Cuando tiramos de él en paralelo a su longitud, lo estiramos o encogemos, mientras que si tiramos en perpendicular, solo cambiamos su dirección, sin alterar su magnitud (su longitud). El motivo es que una dirección perpendicular a otra es algo "completamente distinto". Un palo paralelo a otro comparte en todo su misma dirección. Uno con un ángulo intermedio, que no llega a los 90 grados, o se pasa, tiene algún componente en común. Pero uno perpendicular no tiene ninguno. Por eso, si se tira de algo en perpendicular no se le da más de lo que tenía, no se aumenta su magnitud en ninguna medida, sólo se le imbuye de una cualidad (una dirección) hasta ahora desconocida, de la que no tenía ningún valor. Si tenemos una pelota y la pateamos hacia el cielo (en perpendicular al suelo), no avanza nada en paralelo al terreno, ni hacia la portería contraria ni hacia la propia. Por el contrario, si la golpeamos en diagonal, adquiere algo de las dos direcciones: sube y avanza. 

Pues bien, la perpendicularidad es el tratamiento indicado cuando queremos que un objeto progrese describiendo una circunferencia. Girar consiste en mantener siempre la misma distancia respecto del centro de rotación, sin ganar ni perder magnitud en esa dirección, y en cambio adquirir constantemente una nueva dirección. Y para eso nos viene de perlas el tirón perpendicular, el cual no tiene ningún componente paralelo al radio o radial, es decir, que lo acerque o lo aleje del centro, y sí tiene el efecto de atribuir una nueva dirección. Pero, demonios, entonces el problema es que debido a esos continuos cambios de dirección, lo que era perpendicular hace un momento, ahora ha dejado de serlo... Bien, entonces debemos hacer algo muy exigente, pero posible: ir adaptando de forma continua la disposición entre radio y tirón, de forma que sea siempre un ángulo recto. 

En la práctica, estas condiciones se pueden asegurar, por ejemplo, haciendo que el palo sea rígido (no admite estiramiento ni encogimiento, ni alejamiento ni acercamiento radial) y puede rotar gracias a la anilla (gracias a esto la dirección radial se ajusta para que nuestro tirón sea siempre perpendicular a ese radio). Caben otras situaciones físicas que garanticen esto, como un terreno cóncavo dentro del cual gira una moto. 

En matemáticas, en cambio, todo eso no les preocupa: se da por hecho que, cuando se adjetiva un objeto con el número i, todo se ordena como por arte de magia, de forma que se tira del objeto siempre en perpendicular, hasta darle la cualidad de estar girado 90 grados respecto de su posición original.

Dos formas de ver los números complejos y vectores

La verdad es que, como decía, números complejos y vectores se parecen mucho. Los primeros son como una flecha anclada al origen del sistema de coordenadas, que puede apuntar en diversas direcciones, como si fuera el radio de una circunferencia (de hecho, se utilizan para describir fenómenos de rotación u oscilación). Y, si les "damos vida" (los permitimos girar, adquiriendo distintos valores sucesivos), pueden hacerlo en sentido horario o anti-horario. 

Los vectores, por su parte, son también flechas que tienen magnitud, dirección y sentido; pueden empezar desde el origen o no.

En cualquier caso, ambos tipos de objetos se pueden describir de dos maneras:

• mediante lo que se llama sus coordenadas polares: (i) módulo (o longitud del "palo") y (ii) ángulo respecto del eje horizontal (que llamamos "real" cuando se trata de números complejos y "X" al al hablar de vectores en un espacio de 2 o 3 dimensiones)
• o mediante sus coordenadas rectangulares: sus proyecciones sobre los ejes real e imaginario (números complejos) o X e Y (en el caso de vectores, si es que el espacio es de 2 dimensiones, aunque pueden ser más, incluso infinitas).

Sin embargo, esta apariencia de igualdad esconde una interesante diferencia.

En cuanto a la expresión "polar", en el caso de los números complejos se plasma en un número (r * e^iθ), que puede ser multiplicado por otro similar; en cambio, entre los vectores, la información sobre el ángulo puede servir para reconstruir el mismo, pero no se convierte en un número "multiplicable".

En paralelo con lo anterior, si volvemos la vista a la expresión rectangular sucede que:

• En el caso de un vector, hablamos de sus coeficientes y sus componentes: los coeficientes son los módulos en cada dirección, cuánto tiene el vector de X y cuánto de Y, pero no llevan "encima" ninguna información sobre esa dirección; los componentes en cambio son el producto de esos módulos por los respectivos vectores unidad de cada dirección, a veces llamados versores.
• En cambio, en el caso de los números complejos todo va junto: el número i que acompaña a la parte imaginaria, es como si fuera el versor del eje imaginario, mientras que la parte real va acompañada de un implícito y sencillo número 1, que sería el versor del eje real.

Lo cual nos lleva a la misma conclusión: cuando multipliquemos un número complejo, no podremos evitar combinar también esa especie de versores que lleva incorporados y que informan sobre su ángulo o fase; no pasa lo mismo con los vectores, donde nos lanzamos a multiplicar los coeficientes y si acaso lo hacemos de forma que seleccione los que apuntan en la dirección coincidente o los que lo hacen en la no coincidente.

Multiplicar números complejos es multiplicarlo todo

En efecto, como acabamos de ver, el número complejo lo lleva todo encima (la información sobre módulo y la de ángulo), los dos adjetivos, por lo que cuando se aplica a otro número no puede evitar aportarle esas dos cualidades.

Si esto lo intentamos ver en la expresión rectangular, se barrunta que es así, aunque de modo borroso. Por ejemplo, para multiplicar (a +bi) con (c+di), se aplican las reglas generales del álgebra, esto es, se multiplica a con b y ci, así como bi con c y di y se suma todo:

(a +bi)(c+di)
= ac + adi + bci + bdi^2
= ac + (ad+bc)i + bd(-1)
= (ac-bd) + (ad+bc)i

Es de destacar que cuando se multiplican entre sí los imaginarios, obtenemos i^2, que es -1, es decir un número real negativo, mientras que las combinaciones de real con imaginario se traducen en un nuevo valor imaginario.

¿Qué surge de esta mezcolanza? Como decía, podemos adivinar que el resultado conlleva un cierto redimensionamiento (cambia el radio) y rotación (cambia el ángulo), pero es difícil determinar cómo, porque cada componente (real e imaginario) lleva en su seno las dos cosas y vaya usted a saber cómo se combinan...

Todo es mucho más fácil si pasamos a la multiplicación de las coordenadas polares, porque aquí los dos aspectos están nítidamente separados. El producto tendrá un módulo que será multiplicación de los módulos de cada multiplicando y una inclinación igual a la suma de los ángulos. Por ejemplo:

(r * e^iθ )(s * e^iα)=r *s*e^iθ+α

Claro, aquí no se entiende qué pinta el nº e ni qué significa el exponente i, pero es que eso solo se comprende con la versión adverbial de la historia, que pronto abordaremos.

Multiplicar vectores mediante el producto escalar es multiplicar sólo la "coincidencia de cualidades"

En efecto, aquí en cambio no se multiplica todo, solo lo coincidente, porque eso es lo que requiere el problema que así se resuelve. Conviene verlo con un ejemplo físico. El clásico es el de un carrito del que vamos tirando en diagonal. La fuerza aplicada tiene, por tanto, un componente en la dirección del desplazamiento del carro y otro perpendicular al suelo que no ayuda en nada. De esta forma, si queremos conocer el trabajo realizado, que es el producto de fuerza por desplazamiento, hay que multiplicar sólo el desplazamiento que efectivamente existe por la fuerza que lo ha propiciado.

Y cuando se multiplican los vectores mediante este tipo de producto, se hace una de dos:

• se multiplican los módulos y al resultado se le aplica una ratio, un %, que es el coseno del ángulo que forman entre los dos vectores.
• o cada componente se multiplica con su homólogo (x con x'; y con y') y los productos se suman.

¿Por qué tanto uno como otro método arrojan "coincidencia"?

Es más fácil verlo con el primer método. Aquí lo primero que hace es multiplicar los módulos sin preocuparse de direcciones. Pero luego el % que aplica (el coseno) es el ratio de la similaridad direccional. En efecto, el coseno es la razón entre cateto contiguo e hipotenusa. Se supone que el valor del radio (hipotenusa) es 1. Cuando un vector está superpuesto sobre otro (ángulo 0, vectores paralelos), todo el triángulo es cateto contiguo; el valor de éste es el de la hipotenusa = 1. A medida que un vector rota y el ángulo respecto del otro crece, el triángulo se espiga, el cateto contiguo disminuye y el coseno lo hace con él, denotando que la similaridad disminuye. 

Ahora bien, puede resultar imposible medir ese ángulo y el correspondiente coseno. En estos casos, cuando el ángulo es invisible, se puede recurrir al segundo sistema, que es una especie de método ciego o de "fuerza bruta", ya que consiste en ir combinando uno a uno los componentes de cada vector, en la esperanza de que cada una de estas batallas aporta una opinión sobre la coincidencia direccional: 

• si los componentes correspondientes a una dirección tienen el mismo signo (ya sea + o -), el producto será + y tanto > cuanto > sean los componentes, denotando de esta forma una gran coincidencia;
• cuando un componente es 1, al menos se confirma el otro;
• cuando es 0, esto significa que un vector no tiene componente alguno en esa dirección (no hay ninguna coincidencia)
• y cuando tienen distinto signo, el resultado será  negativo, tanto > cuanto > sean los componentes, denotando así una fuerte discrepancia.

Y la hora de hacer balance final y sumar los productos, el resultado neto será positivo o negativo dependiendo de si en conjunto prevalecen las fuerzas discrepantes o las coincidentes. Ese resultado será pues, también, el producto de los módulos, pero sólo en la medida de la dirección coincidente.

Como se puede apreciar, esto de la similaridad es un juicio global, que se refiere a todas las direcciones y a ninguna en concreto. Por eso, su resultado no es un vector sino un escalar (un objeto que sólo tiene módulo, no dirección).

Multiplicar vectores mediante el producto vectorial es multiplicar sólo la "discrepancia de cualidades"?

De nuevo aquí no se multiplica todo, si bien en este caso lo que se multiplica es lo discrepante. la razón es también que así lo requiere el problema en juego. 

Lo podemos visualizar con este este ejemplo: un gran destornillador clavado en el suelo, unido a un palo en perpendicular y del mismo tira un buey andando en círculos. Si el buey gira en sentido de las agujas del reloj, atornilla (el destornillador se hunde en el suelo); si recula en sentido contrario a las agujas, desatornilla.

Aquí los dos vectores que se multiplican son el palo paralelo al suelo del que tira el buey (el radio) y la fuerza con la que tira. Como hemos visto antes, para rotar un objeto hay que aplicarle una fuerza perpendicular, esto es, una que le dé una dirección que no tiene. Evidentemente, si el buey empujara el palo en paralelo al mismo, solo conseguiría encogerlo o estirarlo, no rotarlo. Y si la empujara con un poco de cada componente, pues sólo sería el nuevo (el perpendicular) el que surtiría efecto rotatorio. Por otro lado, al buey le será más fácil mover el mecanismo cuanto más largo sea el palo; esto es, cuanto mayor sea la longitud del radio. La razón física... debe ser algo parecido a por qué funciona la palanca. 

En conclusión, el efecto útil, la fuerza con la que rotará el artilugio ("torque"se llama a esto) será el producto del radio (vector que va desde el eje de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza) por el componente perpendicular al mismo de la fuerza aplicada. En otras palabras, lo que buscamos en este caso (el torque) depende de la discrepancia entre los dos vectores, de cuán distinta es la fuerza del radio y de la magnitud de esas cosas que son distintas.

Matemáticamente, esto se expresa:

- De forma bastante clara, mediante las coordenadas polares: se multiplican los módulos y se aplica el % o ratio del seno del ángulo que forman el vector fuerza y el vector radio (el ángulo pequeño, en concreto). Es lógico porque el seno es el cateto opuesto, el que está acogotado y es 0 cuando los vectores tienen la misma dirección (son paralelos) y máximo (= 1) cuando no comparten ninguna (son perpendiculares). Y aquí es la medida en que sucede esto último lo que nos interesa. Aquí lo que cuenta es, como decíamos, la "magnitud de la discrepancia".

- Si optamos por hacer el producto multiplicando entre sí las coordinadas rectangulares, no es tan diáfano, pero más o menos se adivina la razón de ser de la fórmula, que es esta:

Cx = AyBz - AzBy
Cy = AzBx - AxBz
Cz = AxBy - AyBx

Esto apunta a captar la "discrepancia": la magnitud de cada componente la deciden los diferentes, que son dos pares (por ejemplo, para saber la magnitud x del vector resultante hay que preguntar al y de a y al z de b, así como al z de a y al y de b) y esas opiniones no se suman entre sí, sino que se haya la diferencia entre las mismas.

A diferencia de lo que sucedía en el producto escalar, el resultado de este producto sí es un vector, porque tiene dirección (aunque en puridad se dice que es un pseudovector). En concreto, uno que es perpendicular tanto al vector radio como al vector fuerza y que no es otro que el destornillador que se hunde o se separa de la tierra. ¿Por qué? Porque lo que hemos hecho es combinar direcciones no comunes y ello se traduce, lógicamente, en la la dirección que no tienen ni el radio ni la fuerza, la perpendicular a ambos. 

Por fin, para detectar el sentido en que avanza el destornillador se recomienda la "regla de la mano derecha": con el índice se apunta en la dirección del radio y con el dedo medio en la de la fuerza; el sentido es el que entonces marca el dedo gordo. Yo, la verdad, me hago un lío con lo de los dedos. Prefiero esta otra regla: sentido Anti-horario, gira hacia Arriba; sentido Horario, Horada.