Joseph Fourier y la muerte (III)

Llega ya por fin el momento de resolver el engima de la vida y de la muerte, mediante el conocimiento matemático y, en particular, atendiendo a las transformaciones de Fourier, cuyo mecanismo explicaba en el post anterior.

Recordemos la esencia del razonamiento: hay alguien que mide una cosa desde una perspectiva; otro quiere traducir esa medición a su propio lenguaje; como lo de medir pasa por creerse el centro del universo (mido desde el punto 0, mis unidades valen 1, mi plano no tiene inclinación alguna...), el truco para traducir consiste en ponerle al otro aquello que él o ella cree no padecer pero sufre desde nuestra perspectiva (que está desplazado, que sus unidades están contraídas, o que su plano está inclinado en dterminada medida...). Con todo lo cual no se pretende, evidentemente, tener razón, sino adoptar la perspectiva que, ante cada problema, resulte más conveniente, porque facilita la solución. Solución que normalmente se traduce en añadir una fuerza por aquí, o una pizca de intensidad por allá, para lograr el resultado deseado.

Curiosamente, cuando llega el momento de aplicar esto a las perspectivas tiempo y frecuencia, choca uno con la oposición de los matemáticos. En jerga de álgebra lineal, a la "perspectiva", si consiste en unos ejes de coordenadas, se le llama "base". Pero me dicen los expertos que, al menos cuando elige uno supuestas bases con infinitos componentes, en un intervalo que va desde el menos infinto al más infinito, no estamos en puridad ante tal cosa ("bases"), sino ante "espacios vectoriales". Lo he intentado aquí y hemos estado cerca, mas no ha quedado resuelto el porqué de esta technicality. Pero lo que para mí no ofrece duda es que se trata de eso, de un matiz técnico a clarificar, que no empaña para nada la maravillosa metáfora que tenemos entre manos. Máxime cuando, como digo, sirve para resolver el sentido de la vida...

La cosa va así. Si yo tomo, por ejemplo, el intervalo de mi vida entre nacimiento y muerte, puedo contar hacia adelante o hacia atrás, pero ojo: en el bien entendido de que cuando cuento hacia atrás no recorro el mismo camino en dirección contraria, sino que me paso a la otra cara de la moneda y regreso por ella. Si cuento hacia adelante, a cada instante le pongo números progresivamente más altos. Si cuento hacia atrás, el número más bajo coincide con el conjunto de mi vida. Es el período más largo. Pero puedo considerar un período que sea la mitad de largo, pero que se repite más veces, en concreto dos, dos veces por vida. O tres o cuatro o mil veces por vida. Voy así subiendo de frecuencia y digo que lo hago por el reverso de la moneda, porque ahora no la estoy llenando a base de colocar "secuencialmente" una cosa delante de la anterior, sino que adopto un enfoque "holístico" en el que las cosas ocupan todo el intervalo y las coloco una encima de la otra. En efecto, bajo esta perspectiva, la vida es una suma de patrones que la atraviesan de cabo a rabo, desde los de frecuencia más baja (período más largo) a los de la más alta (período corto). 

De esta forma, a la hora de cambiar el resultado del experimento, el experimentador tiene dos opciones. Bien cambiar lo que sucede en un instante, dándole más o menos intensidad, o bien cambiar también la intensidad, pero de una frecuencia. Un mismo resultado podría conseguirse de una u otra forma. Por ejemplo, yo podría modificar un instante tocando muchísimas, muchísimas frecuencias. O cambiar los patrones que gobiernan mi vida a base de alterar infinitos instantes. Lo lógico, sin embargo, es utilizar en cada caso el método adecuado, como decía, a la vista del objetivo perseguido.

¿Resuelve entonces esto la congoja de ver cómo la vida es frágil y fugaz? ¿Nos consuela cuando se marchan o peligran los nuestros? ¿Nos reconforta al ver que se nos escapa el tiempo de entre las manos, sin estar protagonizando la película que deseábamos? Evidentemente, no. Las observaciones que estoy haciendo le resultarían útiles al que, en su caso, estuviera haciendo el experimento de nuestras vidas y lo contemplara en su integridad o siquiera en un intervalo determinado, pero que incluye un trozo de futuro, ya esté este escrito o no, ya se pueda predecir de modo determinista o al menos probabilista. Ahora bien, yo soy el objeto de este experimento, no el experimentador. Yo estoy dentro de un pozo y no tengo esa amplitud de miras.

El mensaje, sin embargo, no tiene que ser desesperanzador ni de resignación pasiva. Bien mirado, coincide un poco con lo que dicen los expertos sobre cómo se ha de vivir. Lo único que tenemos nosotros es cada instante y lo que toca es honrarlos, a medida que llegan. Y podemos también albergar tal vez la esperanza de sintonizar con unas frecuencias que nos sirvan de guía y cambien el guión de la película, si bien esto está más allá del alcance de la mente racional, tanto por ausencia de perspectiva, como por la propia falta de capacidad de proceso. En efecto, los científicos que usan en su trabajo las transformaciones de Fourier se sirven de complejos algoritmos de cálculo, que manejan las computadoras. Si yo soy el personaje del film y quiero influir sobre el desenlace, lo más que puedo hacer es de alguna manera trasladar mi problema al guionista y ponerlo en sus avezadas manos. 

En este momento, es importante no ponerse tonto. No empezar a lloriquear, como puede estar haciendo mi propia mente, con lo de: "¿pero, oiga, quién le ha dicho a usted que hay guionista, si no lo hay, eso es una superchería; o si lo hay, cómo lo sabemos, y cómo es que pasan cosas tan malas, será un mal guionista...?" Todas esas voces son las del Enemigo, esto es, los aguafiestas. Aquí, como venía sosteniendo en otros posts, no se trata de que las cosas sean verdad, sino de si estamos ante un relato (un mito, si se quiere) que merece funcionar y puede de hecho hacerlo. Y éste, según los que saben, debe y puede funcionar. Así que esto es lo que hay que visualizar: hay que pedirle al padre Fourier que nos guíe, que juegue como un gran Niño con su computadora de última generación y monte una linda comedia que le haga reír, que sirva a sus grandes fines, mientras nosotros tambien disfrutamos al representarla.

(Y a ver si me aplico el cuento y estoy de mejor humor, pues llevo una semana de muy malas pulgas, que han padecido los empleados de las Grandes Compañías. Pobres, pienso ahora, sobre todo el de ING, que se llevó la peor parte. Perdón, amigo. Padre Fourier, pongo en general en tus manos mi relación con las multinacionales y sus servidores. Colócame en las frecuencias adecuadas: para que ellos, con sus interminables letanías y sus dejes burocráticos, no me aparten de mi camino, y para que yo no sea en sus oídos voz iracunda, sino útil y esclarecedora. Amén.)

Joseph Fourier y la muerte (II)

 

Retomando el tema que dejé apuntado en la entrega anterior, a continuación paso a explicar por qué están conectadas las transformaciones de Fourier con la muerte. Como siempre, intentaré ser ameno en la parte matemática y animo a digerirla, porque el final que reservo (la conexión entre los binomios vida-muerte y tiempo-frecuencia) es en verdad impactante.

Partimos de un problema práctico, como la distancia hasta un gato. Desde mi posición, mido que el gato está a x = 10 m. Mi hermana se halla en un punto intermedio. Ella podría hacer su propia medición, pero preferimos adivinarla por lógica, “transformando” el valor que yo he medido. En concreto, mi hermana razona así: Javier sitúa el origen de su cinta de medir (el punto 0) en su propia posición, pero yo lo coloco en la mía y para mí él se encuentra a una distancia d = -5 m; por tanto, debo añadir a sus valores lo que él, desde su posición, juzga no tener, pero desde la mía sí tiene. O sea, x = x + d = 10 + (-5) = 5 m. 

(Ya sé que a ustedes les resultaría más comprensible que mi dilecta hermana razonara así: Javier, que está más lejos, cuenta 5 m de más, que yo debo restar; y si fuera al revés, si yo estuviera entre mi hermana y el gato: Javier, que está más cerca, cuenta 5 m de menos, que yo debo añadir. Pero, señores y señores, hay que encontrar una expresión común a ambas hipótesis y esa es la que he propuesto: Javier, desde mi posición, tiene lo que sea -positivo o negativo-, pero no lo computa, pues él cree que no lo tiene; por eso, para traducir sus valores a mi posición, yo tengo que "añadir" a los suyos esa posición que a mi juicio les falta -lo cual se traducirá en suma o resta, respectivamente-.) 

Alternativamente, yo podía haber medido la posición de mi hermana (d = +5). ¡Pero cuidado! Esto me valdría para transformar sus valores a mi lenguaje. Pero, si lo que pretendo es “ponerme en su piel”, debo darle la vuelta a mi medición, cambiándole el signo, lo que nos lleva a la misma regla de transformación: - d = - (+5) = -5 = d. Por cierto, puedo comprobar que el cambio de signo funciona porque, si sumo las dos reglas, la de ida y la de venida, vuelvo al punto de partida: d + d = 0.

Para aplicar esta idea a otras situaciones, debemos generalizarla. En lugar de “posición”, hablemos de “perspectiva”. “Medir la posición del otro” será por tanto “medir dónde queda la la perspectiva del otro desde la mía”. A esto le llamo, abreviando, “medir el cambio de perspectiva”. Y en lugar de “añadir” ese cambio al valor ajeno, podemos hablar de “aplicarlo”, lo que se traducirá en la operación aritmética que corresponda. De igual modo, si soy yo el que mide la diferencia de perspectiva, ya no le “cambiaremos el signo” sino que la “invertiremos”, de la forma que proceda: haremos lo necesario para que, “aplicando” a una regla su inversa, el resultado sea siempre “no hacer nada, dejar las cosas como estaban”.

Podríamos directamente emplear esta formulación abstracta para entender la transformación de Fourier, pero quedará más claro si pasamos por otros dos ejemplos intermedios.

El primero es el que podríamos llamar multiplicativo, en vez de aditivo. Supongamos ahora que mi hermana y yo compartimos el mismo origen, pero medimos con distintas unidades. Las mías son de 1 m, mientras que las suyas miden el doble, 2m. Ahora pues la perspectiva es el tamaño de nuestras respectivas unidades. Por tanto, cuando mi hermana mide el cambio entre tales perspectivas, lo que hace es comprobar que las mías son la mitad de grandes que las suyas, esto es, que la ratio entre ellas es ½ (r = ½). Aplicar esta regla a mi valor supone, mutatis mutandis, ya no sumar, sino multiplicar: x = x * r = 10 * ½ = 5. Si hubiera medido yo esa diferencia de perspectiva, habría obtenido r = 2, pero -para ponerme en los zapatos de mi hermana- comprendería que debo invertir la regla; en este caso, como la regla es multiplicativa, al invertirla la convierto en división: r = 1/r =  ½. Y, para comprobar que hemos invertido bien, lo que hacemos es multiplicar una regla por otra (r * r =  ½ * 2), de forma que el resultado no es ya 0 (que significa no sumar) sino 1 (que significa no multiplicar), pero está bien, pues de eso se trata, de quedarnos donde estábamos.

El siguiente paso consiste en hacer el caso multidimensional. Por ejemplo, imaginemos que el gato se ha subido a un árbol. En este caso, como no tengo una escalera que me lleve hasta el animal, utilizo dos pistas: mido mi distancia hasta el pie del árbol (x) y luego proyecto una línea perpendicular desde ese punto hasta el gato (y), componiendo así un triángulo rectángulo cuya base es x y cuya altura es y, lo cual me permite calcular la distancia a recorrer, mediante el Teorema de Pitágoras, como s = √(x² + y²). Por su parte, mi hermana comparte de nuevo mi origen, pero tiene otros ejes: ella se sirve de un terraplén que se eleva hacia el gato (digamos con un ángulo θ respecto del suelo), pero no lo alcanza, por lo que tiene que completar desde cierto punto (x) con un palo que se eleva en perpendicular desde el terraplén hasta el felino (y). Ella podría entonces medir directamente su x y su y, pero como siempre preferimos transformar mis valores.

Para ello, mi hermana debe medir la diferencia entre nuestras respectivas perspectivas, lo cual ahora se traduce en cuán inclinados están mis “metros” (a los que llamaré X e Y, con mayúscula) respecto de los suyos (que denomino también con mayúscula, X e Y). Este es un juicio que se hace por dimensiones. En efecto, lo de creerse uno el ombligo del mundo y el que tiene la rectitud es una tendencia tan fuerte que hasta la sufre cada una de nuestras personalidades.

El primer paso al frente lo da la cara X de mi hermana, que desea obtener la coordenada x. Lo primero que hace esta señora es medir mis dos perspectivas: observar las proyecciones de mis metros X e Y sobre ese eje X; obtiene así unas sombras, que están acortadas, las coordenadas cos θ y -sen θ.

Toca ahora aplicar esta regla a mis valores de la distancia hasta el gato, x e y. La dama X lo hace multiplicando cada oveja por su pareja (mi valor x lo multiplica por la forma en que ella lo ve, esto es, pasándolo por la lente que es cos θ; a mi y le aplica también el corrector correspondiente, que es  -sen θ) y luego suma esos productos. Como unos son positivos y otros negativos, el resultado es el efecto neto, que viene a ser la coordenada x, esto es, cuánto tiene la distancia hasta el gato de su eje X (el terraplén).

Para obtener la coordenada y, la faceta Y de mi hermana efectúa la misma operación: proyectar mis metros X e Y sobre su eje Y y obtener la diferencia de perspectiva con Y, esto es, las ratios sen θ y cos θ, y las emplea de la misma manera.

(Todo esto funciona así gracias, a que -tanto para mí como para mi hermana- los ejes y los metros X e Y son de valor unitario y perpendiculares entre sí, pero se hace algo largo de explicar y no quiero que los árboles no dejen ver el bosque.)

En conjunto, matemáticamente, esto se presenta como un producto entre matrices: a la derecha he puesto mis valores x e y para la distancia hasta el gato, que es lo que hay que transformar, como una matriz con una columna; a la izquierda vemos otra matriz (que llamo M) con dos columnas, una para mi unidad o perspectiva X y otra para la Y, pero medidas desde la perspectiva de mi hermana, por lo que me refiero a ellas con sus respectivos nombres (X e Y), aunque indicando en subíndice qué faceta de mi hermana las mide (X o Y). La gracia de multiplicar matrices es que se hace de la forma que avanzaba antes: la columna por cada línea (cada oveja con su pareja y sumando productos), lo cual permite pasar el vector de la derecha por el filtro de las perspectivas X e Y sucesivamente, como se ve aquí: 

Pero no hay que dejarse deslumbrar por el aparato técnico. Al fin y al cabo, estamos ante lo de siempre: se coge mi medición sobre la distancia hasta el gato y se le aplica lo que le falta para valer desde la perspectiva de mi hermana. Antes eso se traducía en añadir la distancia d, luego en aplicar la ratio r y ahora en multiplicar por la matriz M, pero nada más.

Para rematar, señalo que si yo hubiera medido la perspectiva de mi hermana, habría obtenido el mismo resultado que ella, pero organizado de otra forma. En concreto, habría obtenido una matriz con los mismos senos y cosenos del ángulo que nos separa, si bien mis columnas serían sus filas. Esto me valdría para transformar hacia mi perspectiva, pero si quiero “ponerme en su piel”, debería invertir esa matriz, lo que se consigue transponiéndola, esto es, cambiando las filas por columnas. La prueba de que esto es correcto es que si multiplico una matriz de transformación por la inversa el resultado es la matriz identidad, esto es, la que deja las cosas como están (la que si se aplica, no hace nada).

Llegamos así a la transformación de Fourier, cuyo aspecto aterrador era este:

Pero es fácil descubrir enseguida a nuestros viejos amigos, con un disfraz adaptado a las nuevas circunstancias. La principal novedad es que el problema a resolver es otro: nos encontramos ahora ante una señal que oscila alrededor de un punto de equilibrio (digamos por ejemplo el maullido del gato, que consiste en compresiones y estiramientos del aire con mayor o menor amplitud). Lo cómodo sería que este sonido tuviera un período que se repite, pero si no lo tiene, nos imaginamos que lo acaba teniendo en el límite, considerando un intervalo entre el menos infinito y el más infinito.

A la hora de medir la señal yo tomo la perspectiva de los instantes temporales: mido (con un osciloscopio) la amplitud del sonido en cada momento y lo represento como una función que toma como input cada instante y da como output una magnitud una amplitud del sonido. Esto es el f(x) que se ve en la ecuación y que se corresponde con el x de la distancia hasta el gato, en los dos primeros ejemplos, o el x e y del tercero; lo único que cambia es que ahora tengo una serie continua e infinita de valores, en vez de uno o dos.

Mi hermana toma por su parte la perspectiva de las frecuencias. Y es que en efecto cualquier sonido se puede ver como una suma de oscilaciones a distintas frecuencias, cada una con su amplitud correspondiente. Mi hermana podría utilizar un aparato (un espectrómetro) para obtener sus propios valores, pero como siempre preferimos transformar desde los míos.

A estos efectos, mi hermana debe proceder de nuevo a medir mi perspectiva desde la suya. Esto se traduce, como en el caso anterior, en que mide mis unidades (mis instantes), proyectándolas sobre las suyas (las frecuencias).

¿Cómo se come esto? Mutatis mutandis. Como ahora lo que medimos no es una distancia, sino una oscilación, no se mide con palos, sino -lógicamente- con osciladores. Concretamente, con un disco que rota, cuya representación es esta:

(Abajo en Anexo recuerdo por qué el número e, con este exponente, es un disco que rota)

Así pues mi hermana, si antes se situaba en su eje X y observaba la sombra que sobre él proyectaban mis metros X e Y, ahora lo que hace es ponerse en la rueda que gira a la frecuencia F y observar la sombra que sobre ella proyecta cada momento temporal T, esto es, anotar el lugar que ocupa el disco (lo que se llama la “fase”) en ese instante.

Acto seguido debe aplicar esta diferencia de perspectiva a mi medición de la señal f(x). Esto se traduce también en un producto de cada oveja con su pareja y suma de los resultados. Lo peculiar es que ahora los elementos son infinitos y continuos y por eso la suma de los productos es una integral. Para calcularla hay que evaluarla y esto requiere aplicar las técnicas del cálculo diferencial, pero tampoco hay que dejarse impresionar por estos términos, pues este cálculo es lo mismo que: en la versión más simple, coger el +10 y aplicarle un +d o un *r; en la multidimensional, coger cada uno de mis valores y multiplicarlos por un factor seno o coseno, a veces positivo y otras negativo, sacando al final el neto; de hecho ahora hacemos también esto mismo, con el matiz de que los resultados no miran simplemente a la derecha y a la izquierda, sino que apuntan en cualquier dirección y el neto lo sacaríamos (si es que pudiéramos hacerlo con infinitos elementos) mediante una suma vectorial, esto es, ligando todas las flechas (al extremo de una se junta la cola de otra) y trazando la raya que las une. El resultado será un número complejo que nos da la magnitud de la frecuencia y la dirección en la que apunta, su fase; con otras palabras, nos dice cuándo tiene que entrar cada frecuencia (cada nota) para acomodarse a la señal y en qué medida se acomoda.

Por fin, verán también un signo negativo en la fórmula, en el exponente. Para entender por qué conviene volver al ejemplo primero, el de la traslación. Allí todo se hacía sumando (es como se mide un objeto, cómo se mide la diferencia de perspectiva, cómo se aplica ésta…) y, por eso, para invertir la regla de conversión, para deshacer la suma, se restaba. Ahora lo que sucede en el exponente, la aplicación de las fases, también se traduce en una resta. Invertir es de nuevo cambiar el signo. Ahora bien, en qué transformación se pone el signo, en la de ida o la de vuelta, es una cuestión convencional y lo habitual es ponerla a la ida, como se refleja en nuestra fórmula.

Conclusión: he fracasado, quería explicar esto para niños y ni yo mismo lo entiendo, cuando lo intento leer al cabo de unos días, pero ¡que venga otro y lo perfeccione!

¿Y la conexión de esto con la muerte? Paciencia, ahora estoy muerto: ¡la próxima semana hablaremos de ello!

 Anexo: Por qué el nº e elevado a la i es un disco que rota

Como explicaba en otros posts, los números son adjetivos: cuentan una cualidad de las cosas, que es de cuántas unidades se componen. Pero son también adverbios, que nos dicen cómo hacer las operaciones con los números. Por ejemplo, yo puedo sumar 1 K, o sumarlo 2 veces (2K) o medio-sumarlo (1/2 K) o anti-sumarlo (-K). A esto, sumar conforme indica un coeficiente, lo llamamos multiplicar. Pero entonces la propia operación de multiplicar se puede efectuar de determinada manera, conforme indica un exponente. Por ejemplo, yo puedo multiplicar K por 2, o hacerlo 2 veces (K*2^2) o medio multiplicar por 2 (K*2^1/2 , que es raíz de 2)... Si multiplico el K por -1, tendré -K, es decir, habré girado mi K 180 grados; pero si lo medio-multiplico por -1, o sea, lo multiplico por raíz de -1... pues lo habré girado 1/4 de vuelta, 90 grados, lógicamente. De esta manera, lo que he hecho es mantener la magnitud del nº, pero darle una dirección totalmente independiente de la que tiene, una perpendicular a la original. A ese número que produce este efecto, raíz de -1, se le llama "i", la unidad "imaginaria", aunque se le podría haber denominado mejor la unidad perpendicular. 

Y ahora viene la gracia: ¿qué pasa si ahora este número i lo utilizo como adverbio? Por ejemplo, se lo pongo como exponente a un 2, como aquí 2^i, y entonces multiplico mi K "a la i", esto es, "a la perpendicular". Ojo: no lo estoy multiplicando por i, lo que tendría el efecto de girarlo un cuarto, sino por 2, pero "a la i". ¿Qué demonios es eso? Cuando multiplico una cosa por 2, la escalo dándole a cada una de esas unidades esa cualidad, pero en la misma dirección que ya tenía. Si ahora la multiplico por 2 "a la i", también la escalo, pero ya no para que crezca en su dirección originaria, sino para dotarle, también a cada una de sus unidades, de la dirección que en absoluto tiene, que es lo que significa perpendicular. Y darle a algo siempre dirección nueva es rotarlo, hacerle describir un círculo, que es lo que uno hace cuando está siempre cambiando de dirección.

El problema es cuánto arco se recorre. Para eso, hay que "normalizar", encontrar una unidad de escalado mediante rotación. La unidad de multiplicación longitudinal (de escalado en la misma dirección) es 2. La unidad de escalado mediante rotación es algo más, el nº e, que es  2,718 e infinitos decimales. De este modo, cuando se multiplica por e elevado a la i, resulta que se rota en arcos iguales al radio. O sea, si yo tengo un palo que mide K, pues al multiplicarlo por e^i lo roto en un arco igual a K, que es el radio de la circunferencia que K describe. Y como los ángulos de una circunferencia se pueden medir en arcos iguales a su radio o "radianes" (de los cuales la circunferencia tiene 2pi), habré rotado el K en un radian.

¿Por qué funciona así el número e? Se suele ejemplificar esto con el interés compuesto y continuo. Con un interés simple a tasa de 100% (esto es una velocidad de 1 K / año), lo doblamos, pero el nuevo capital lo dejamos aparte para sumarlo al final. Con un interés compuesto, seguimos doblando cada año, pero el nuevo capital no se aparta, sino que se acumula al antiguo, de forma que la 2º vez doblo 2, la 3ª 4 y así sucesivamente. Con un interés compuesto y continuo,  no esperamos al final de año para sumar el interés al capital, sino que se devenga y acumula en cada instante (ideal) del ejercicio (lógicamente por la parte proporcional), lo cual significa, a final de año, no doblar sino multiplicar por ese 2,718... (Para llegar a esta cifra se utilizan técnicas del cálculo diferencial, que aquí obviamos.)

Podemos decir así que la unidad de crecimiento de un interés simple es 1; la de un interés compuesto es 2 y la de un interés compuesto-continuo es 2,718... 

Si ahora cogemos esa unidad de interés compuesto continuo y le ponemos el exponente i, lo que sucede es curioso: el K rota, como manda el exponente i, y lo hace describiendo un arco a un tipo de interés del 100%, esto es, en una magnitud igual a su longitud, como si lo hubiéramos multiplicado por 2; ahora bien, ese efecto a lo largo del arco no se acumula y aumenta de forma compuesta y continua, sino que sigue la regla del interés simple, de forma que la próxima vez que multipliquemos por e^i lo que se volverá a doblar es el K inicial; ¿pero qué ha sido entonces de e y su efecto compuesto y continuo?; sucede que lo que actúa de forma compuesta (cada cambio de dirección opera sobre el acumulado anterior) y continua (en cada punto ideal) es solo el cambio de dirección. En suma, el ritmo de avance a lo largo del arco será siempre el K inicial multiplicado por el número que está en el exponente junto a i, es decir un cierto número de radianes; el resto del "efecto e" se consume en hacer que cambie la dirección de forma continua y compuesta. 

La Manada y el concepto de multiplicación: una reflexión sobre la abstracción (II)

The weakest living creature, by concentrating his powers on a single object, can accomplish something. The strongest, by dispensing his over many, may fail to accomplish anything. The drop, by continually falling, bores its passage through the hardest rock. The hasty torrent rushes over it with hideous uproar, and leaves no trace behind.

Thomas Carlyle, essayist and historian (4 Dec 1795-1881)

(Cita tomada de Wordsmith.org)

Mientras llegaba la segunda entrega de este artículo, ha progresado el caso “La Manada”: se ha dictado la sentencia del TSJ de Navarra que resuelve el recurso de apelación contra la dictada por la Audiencia Provincial. El fallo confirma la condena por abusos, en lugar de violación. Y se suceden las manifestaciones de repulsa, en la calle y de los políticos. Las de la calle me inspiran comprensión y simpatía, porque son una reacción emocional. Las de los políticos, empero, me dejan más perplejo. Aquí el problema, como pasó recientemente con el AJD de las hipotecas, es que estamos ante una norma ambigua y si hubiera que enmendarla, que se haga, después de un estudio profundo y sereno. Ese es el oficio de los gobiernos y legisladores. Pero no me parece justo cargar, con mayor o menor comedimiento, contra los jueces, como si fueran retrógados, cuando ellos no han hecho más que aplicar la Ley vigente conforme a una interpretación que, si peca de algo (y creo que en efecto peca), es de mostrar excesivo respeto por los principios más progresistas.

En efecto, como la imagen de arriba (¿hacia dónde va el tren?), el Código Penal español presenta aquí un punto oscuro o ambiguo. Estas situaciones en las que el delincuente no utiliza amenazas, expresas o tácitas, pero sí crea una “atmósfera coactiva”, están a caballo entre la “agresión” y el “abuso”: se puede juzgar que esa atmósfera intimida y tuerce la voluntad (violación) o que por el contrario genera una situación de incapacidad de expresar dicha voluntad (abusos). De este modo, puestos a construir una analogía, cabe hacerlo estirando el concepto de violacion o el de abuso. La paradoja es que lo progresista (lo garantista, lo que protege al ciudadano frente a la arbitrariedad del poder) es entender que en el Derecho Penal no cabe la analogía en contra del reo y menos cuando ello conlleva apartarse de una línea jurisprudencial anterior. En razón de lo cual, no me extraña que nuestros jueces, que están educados en la observancia de esos valores, se hayan decantado por la condena más liviana. Ciertamente, eso supone optar a ciegas por un valor abstracto (la seguridad jurídica, el principio de legalidad), sin plantearse a fondo cuál es su razón de ser. Es lo que hizo el Tribunal Europeo de Derechos Humanos en el caso Parot, lo cual no me gusta, porque (como mantenía aquí) es un planteamiento maximalista que no hace la debida ponderación con el otro valor en liza, que es la justicia. Por eso pienso que aquí también cabe otro enfoque, el que sugiero en la parte (I) de este comentario y de nuevo resumo. Consiste en revolver en el concepto de intimidación, a la luz del objetivo que persigue la norma, con el fin de hallar una forma de mejor proteger los derechos de la víctima, que quepa dentro del tenor literal y el espíritu de la disposición. Esto es posible, creo que sería una forma moderna de entender el Derecho Penal, donde el Juez ya no sea un autómata que aplique un algoritmo, sino una computadora dotada de inteligencia artificial, que lee los big data de los avances científicos y sociológicos y constata de esta manera que la mayoría de las mujeres objeto de un ataque sexual se quedan paralizadas, como estrategia autoprotectora, de modo consciente o inconsciente, en razón de lo cual inaplicar el tipo de violación en estos casos equivale a privarlo de buena parte de su contenido. En definitiva, en la tensión entre seguridad y justicia, se trata de buscar maneras de dar más juego a la segunda, sin que sufra demasiado la primera. Se trata de decidir a dónde queremos que vaya el tren, con base en un análisis ponderado. Ahora bien, si uno se lo toma esto como si fuera el River – Boca disputado ayer en Madrid, si uno es un forofo incondicional de la justicia en detrimento de la seguridad, entonces para ser coherente, si se significa ahora discrepando de los jueces españoles por castigar con 4 o 5 años menos a los brutos de La Manada, debió haber protestado con igual vehemencia ante la sede del Tribunal de Derechos Humanos de Estrasburgo, cuando éste (caso Parot) propició la salida de asesinos múltiples de las cárceles, sacrificando también la justicia en aras de la seguridad jurídica…

Pero lo prometido es deuda y vayamos a un comentario de corte parecido, esta vez en el ámbito matemático. Creo que esto es muy útil para las gentes de letras, porque les puede reportar, por una vía amigable, la satisfacción de comprender (tan bien o incluso mejor que los expertos) ciertas cosas que antes les parecerían crípticas. En cualquier caso, este ejercicio entrena en el arte de pensar con claridad, que es algo útil a todos los efectos. (Ello justifica la cita de Mr Carlyle reflejada al principio; dejo como deberes para el lector deducir por qué…) 

Al tajo, pues. Al adentrarnos en la selva matemática, el riesgo (al que a veces nos inducen los gurús y eminencias de esta disciplina) es también (como pasaba en los casos Parot o La Manada) aceptar los conceptos abstractos, los que están en las cimas de la escalera del razonamiento, sin intentar indagar cuáles son, uno por uno, los peldaños que conducen hasta ellos. En concreto, está de moda afirmar que lo que nos enseñaban en el colegio (la multiplicación es suma repetida) está muy equivocado, pues la multiplicación sería algo distinto e independiente de la suma. Aquí y aquí pueden ver ejemplos de esa crítica contra lo que se llama el error del MIRA (Multiplication is Repeated Addition).

Yo creo que esto es en parte verdad y en parte mentira. Es verdad que, si se quiere definir la multiplicación con una esencia que esté presente en todas sus modalidades, hay formas mejores de hacerlo que con el MIRA; incluso me parece que la que suelen emplear los gurús se queda estrecha y existe otra más delgada, más abstracta y por ende omnicomprensiva. Pero, por otro lado, no renuncio a ligar ese espíritu, ese patrón, con la operación más sencilla, la suma; el ejercicio puede fallar en algún punto, mas siempre es loable porque enseña a pensar buscando en la base el fundamento de la cima; es más, ayuda a subir más alto, mediante el sencillo expediente de repetir el mismo mecanismo que nos permitió progresar hasta esa misma cota, que ahora se convierte en plataforma para un nuevo salto.

Para ambas cosas, me intento servir de un modelo para entender las mates que está basado en la gramática. Al fin y al cabo, el matemático es también un lenguaje, como el español o el inglés, y deberían existir unas claves que permitan traducir del uno a los otros. La clave que vengo usando, y la verdad es que me resulta fructífera, es advertir que los números son adjetivos y son adverbios.

Comencemos con lo de los adjetivos, que sirve para dar con una definición de la multiplicación que suena bien y llega lejos.

Nada descubro si recuerdo que la gramática clasifica los números como adjetivos “cardinales”, que nos informan sobre una cualidad o propiedad de una cosa, relativa a su cantidad. Por ejemplo, si uno ve el número 4, en realidad lo que debe imaginar es un monedero y pensar que éste tiene una propiedad, un atributo, una cualidad: es “cuatroso”, tiene “cuatrismo”, lo que puede significar que contiene 4 monedas de 1 €. (Ojo, porque es importante añadir mentalmente el sustantivo: a menudo las matemáticas nos sitúan frente a un número y nos sentimos obligados a entenderlo tal cual, mas esto pone en un apuro a la mente, porque ella busca la analogía con las cosas de la realidad y en la vida práctica no solemos ver adjetivos, y menos de los cardinales, que anden por ahí sueltos… Veremos cómo esta reflexión se revela también útil cuando hablemos del número e.)

Pues bien, la multiplicación consiste en atribuir a un objeto un adjetivo, una propiedad. O si la cosa ya está adjetivada (recordemos nuestro monedero contenedor de 4 monedas), el producto con otro guarismo (2, por ejemplo) es una combinación de cualidades: podemos imaginar que una varita mágica roza cada una de las 4 monedas originarias, que eran de 1€, y las convierte en piezas de 2€. De esta forma el monedero pasa a ser “cuatroso” y “dososo” a la vez, o sea, “ochoso”.

Esto se parece a la definición alternativa de multiplicación que dan los expertos, los cuales hablan de scaling, que podemos traducir por redimensionamiento: hemos escalado el monedero (el multiplicando) haciendo crecer todas y cada una de sus unidades en la proporción que indica el multiplicador (2).

Sin embargo, el modelo "multiplicar es adjetivar" es una idea más estilizada, que se maneja mejor a la hora de encajar en situaciones novedosas. Por ejemplo:

1º           Pensemos en un palo de 1 m de longitud. Lo multiplicamos por -1, con lo cual el extremo del palo sigue estando a la misma distancia del origen, pero mira en sentido contrario. No hay en realidad redimensionamiento (el valor absoluto es el mismo). ¿Se podría decir entonces que la cualidad atribuida al objeto consiste en una nueva orientación, esto es, estar colocado mirando desde el origen hacia la izquierda? En puridad, no, porque si volvemos a multiplicar por -1, no le atribuimos al objeto más de esa cualidad (mirar a la izquierda), sino que lo devolvemos al punto de partida (-1 por -1 es +1). Podíamos entonces afirmar que la cualidad asignada es "relativa" y consiste en invertir el objeto, ponerle mirando para el lado contrario al de partida. Sin embargo, yo diría directamente, anticipando lo que viene a continuación, que el atributo con el que hemos adornado al palo es el de estar rotado 180 grados (disfrutar de medio giro), respecto de su posición inicial. 

(Aunque esto es un poco hacer spoiling, porque ya cuento algo de  la versión adverbial, diré que un palo rota cuando se tira del mismo "perpendicularmente", en lugar de longitudinalmente o en paralelo con su extensión. En el Apéndice detallo por qué.)

2º           ¿Y si queremos dotar al palo de marras de una cualidad intermedia, la de estar rotado 90 grados (un cuarto de giro)? En este caso debemos multiplicar no por -1, sino por aquello que (multiplicado dos veces) daría -1, esto es, por raíz cuadrada de -1. Esta cualidad recibe una denominación especial, la de número imaginario y se denota con la letra i. También se puede atribuir varias veces: hacerlo en 2 ocasiones equivale a multiplicar por -1 (giro de 180 grados), hacerlo 3 es multiplicar por -i (270 grados) y hacerlo por 4 es como multiplicar por 1 y devuelve el palo al punto de partida (360 grados).

(Los números quedan así divididos en dos grandes categorías: reales e imaginarios. La nomenclatura es por supuesto engañosa: en realidad, como sabemos, todos los números son adjetivos y, por tanto, abstracciones; todos son en puridad imaginarios; lo real y tangible son sólo las cosas que adjetivan.) 

3º          Hasta ahora hemos multiplicado el palo bien por un número real (redimensionándolo) o por otro imaginario (rotándolo), pero esto último lo hemos hecho siempre de forma que el buen palo aterrizaba siempre sobre un eje. ¿Y si queremos  más flexibilidad, esto es, la capacidad de imprimir al palo las dos cosas a la vez, escalado y rotación y además una rotación más variada, que pueda acabar en cualquier ángulo intermedio? Para esto necesitamos multiplicarlo por un número complejo, es decir, uno que combina las dos cualidades, los dos adjetivos: uno que rota y otro que re-escala. De este modo, la combinación del palo con un número complejo lo estirará y le dotará de un ángulo. Y la multiplicación de dos complejos entre sí conlleva también la combinación de adjetivos longitudinales (se multiplican los radios) y rotacionales (se suman los ángulos). 

(Dos cositas: Una, aquí estoy viendo el número complejo en la forma polar-exponencial, que es la que separa el radio -re-escalable y re-escalador- del ángulo. Esto no coincide con la parte real y la parte imaginaria, pues estas mezclan ambas cosas. Lo explico ene l Apéndice. Otra cosa,  ¿pero por qué se "suman" los ángulos? ¿Por qué en este aspecto la multiplicación se resuelve en suma? No lo podemos explicar aún, porque nos hemos adelantado a examinar  la versión adjetival de los números, que es la sintética, la que condensa en un adjetivo un conjunto de operaciones; para entender esta cuestión, necesitamos dar un paso atrás, abordando la versión adverbial, que es la que desvela precisamente ese conjunto de operaciones. Lo haremos más adelante.)   

4º           Entremos ahora en el mundo de los vectores, que son objetos que -también- reúnen varias cualidades. La verdad es que un número complejo, que tiene dos componentes, y un vector de dos dimensiones, se parecen bastante. Pese a todo, son objetos distintos. La distinción, por lo que he visto, suele hacerse de muy diversas formas y genera cierto debate. Volveremos a este tema. Aquí mencionaré una forma de distinguirlos que viene a cuento, que es la que atiende a cómo funciona la multiplicación en cada ámbito. Así los números complejos encierran dos adjetivos, es cierto, pero ambos se combinan plenamente en su multiplicación.  Por su parte, los vectores se pueden descomponer en múltiples dimensiones (típicamente, direcciones, aunque puede haber otras modalidades), que podemos ver también como adjetivos, y hasta pueden tenerlas infinitas (en cuyo caso hablamos de funciones, las cuales pueden ser de hecho funciones reales o complejas), pero nunca se multiplican todas ellas en su integridad: en el llamado producto punto o producto escalar (dot product) sólo se mezclan los adjetivos de los vectores (sus magnitudes o módulos en diversas dimensiones) en la medida en que coinciden (apuntan en la misma dirección, en el caso típico) y en el producto cruzado o producto vectorial (cross product) sólo en tanto y cuanto dichas cualidades difieren (apuntan en direcciones distintas).

(En el Apéndice explico cómo se consigue lo uno -combinar todo, en los números complejos- o lo otro -combinar sólo lo que se comparte o lo que no se comparte- mediante operaciones matemáticas.)

5º           Por fin, en las lecciones sobre cálculo infinitesimal uno se enfrenta a integrales. Por ejemplo, tiene una función que representa la velocidad de un coche y lo que quiere es saber cuánto se ha desplazado en determinado lapso de tiempo. En el fondo esto es un producto de lo más vulgar: se multiplica la velocidad por el tiempo transcurrido, digamos 10 km/h x 4 horas. En nuestra terminología, se le dota a esa velocidad de 10 de “cuatrismo” o al 4 de “diecismo”. El problema al que se enfrenta el cálculo es que la velocidad sea variable a lo largo del tiempo. Lo soluciona multiplicando la velocidad en cada instante (o momento de tiempo infinitamente pequeño) por el instante correspondiente y sumando los resultados. Lo cual no deja de ser un producto plural, en el que participan infinitos actores, cada uno de los cuales se lleva su adjetivo o cualidad, y al final se suman las contribuciones de todos.

Y me dejo otras operaciones análogas, que iré añadiendo a este post en cuanto tenga ocasión. Pero sirve esto para, simplemente, apuntar la idea de que la multiplicación pulula por toda la matemática, aunque lo haga disfrazada y que, para desenmascararla (y comprender cómo funciona en cada una de sus variedades), vale esta idea omnipresente: un producto, con sus diversas caras, siempre consiste en adjetivar una cosa, atribuirle una cualidad. 

Naturalmente, con las anteriores explicaciones no se entienden del todo las anteriores figuras ni otras afines, pero tampoco he podido explicarlas más porque, para comprenderlas, se requiere la perspectiva que nos falta, la analítica, la que se aplica a desentrañar qué operaciones ha sido preciso realizar y de qué manera para alcanzar las cualidades que luego se condensan en los correspondientes adjetivos. Es decir, la perspectiva adverbial, que abordaremos en una próxima entrada del Blog.

APÉNDICE:

¿Por qué tirar en perpendicular es "rotar"? 

Imaginemos un palo sujeto a un soporte mediante una anilla. 

Cuando tiramos de él en paralelo a su longitud, lo estiramos o encogemos, mientras que si tiramos en perpendicular, solo cambiamos su dirección, sin alterar su magnitud (su longitud). El motivo es que una dirección perpendicular a otra es algo "completamente distinto". Un palo paralelo a otro comparte en todo su misma dirección. Uno con un ángulo intermedio, que no llega a los 90 grados, o se pasa, tiene algún componente en común. Pero uno perpendicular no tiene ninguno. Por eso, si se tira de algo en perpendicular no se le da más de lo que tenía, no se aumenta su magnitud en ninguna medida, sólo se le imbuye de una cualidad (una dirección) hasta ahora desconocida, de la que no tenía ningún valor. Si tenemos una pelota y la pateamos hacia el cielo (en perpendicular al suelo), no avanza nada en paralelo al terreno, ni hacia la portería contraria ni hacia la propia. Por el contrario, si la golpeamos en diagonal, adquiere algo de las dos direcciones: sube y avanza. 

Pues bien, la perpendicularidad es el tratamiento indicado cuando queremos que un objeto progrese describiendo una circunferencia. Girar consiste en mantener siempre la misma distancia respecto del centro de rotación, sin ganar ni perder magnitud en esa dirección, y en cambio adquirir constantemente una nueva dirección. Y para eso nos viene de perlas el tirón perpendicular, el cual no tiene ningún componente paralelo al radio o radial, es decir, que lo acerque o lo aleje del centro, y sí tiene el efecto de atribuir una nueva dirección. Pero, demonios, entonces el problema es que debido a esos continuos cambios de dirección, lo que era perpendicular hace un momento, ahora ha dejado de serlo... Bien, entonces debemos hacer algo muy exigente, pero posible: ir adaptando de forma continua la disposición entre radio y tirón, de forma que sea siempre un ángulo recto. 

En la práctica, estas condiciones se pueden asegurar, por ejemplo, haciendo que el palo sea rígido (no admite estiramiento ni encogimiento, ni alejamiento ni acercamiento radial) y puede rotar gracias a la anilla (gracias a esto la dirección radial se ajusta para que nuestro tirón sea siempre perpendicular a ese radio). Caben otras situaciones físicas que garanticen esto, como un terreno cóncavo dentro del cual gira una moto. 

En matemáticas, en cambio, todo eso no les preocupa: se da por hecho que, cuando se adjetiva un objeto con el número i, todo se ordena como por arte de magia, de forma que se tira del objeto siempre en perpendicular, hasta darle la cualidad de estar girado 90 grados respecto de su posición original.

Dos formas de ver los números complejos y vectores

La verdad es que, como decía, números complejos y vectores se parecen mucho. Los primeros son como una flecha anclada al origen del sistema de coordenadas, que puede apuntar en diversas direcciones, como si fuera el radio de una circunferencia (de hecho, se utilizan para describir fenómenos de rotación u oscilación). Y, si les "damos vida" (los permitimos girar, adquiriendo distintos valores sucesivos), pueden hacerlo en sentido horario o anti-horario. 

Los vectores, por su parte, son también flechas que tienen magnitud, dirección y sentido; pueden empezar desde el origen o no.

En cualquier caso, ambos tipos de objetos se pueden describir de dos maneras:

• mediante lo que se llama sus coordenadas polares: (i) módulo (o longitud del "palo") y (ii) ángulo respecto del eje horizontal (que llamamos "real" cuando se trata de números complejos y "X" al al hablar de vectores en un espacio de 2 o 3 dimensiones)
• o mediante sus coordenadas rectangulares: sus proyecciones sobre los ejes real e imaginario (números complejos) o X e Y (en el caso de vectores, si es que el espacio es de 2 dimensiones, aunque pueden ser más, incluso infinitas).

Sin embargo, esta apariencia de igualdad esconde una interesante diferencia.

En cuanto a la expresión "polar", en el caso de los números complejos se plasma en un número (r * e^iθ), que puede ser multiplicado por otro similar; en cambio, entre los vectores, la información sobre el ángulo puede servir para reconstruir el mismo, pero no se convierte en un número "multiplicable".

En paralelo con lo anterior, si volvemos la vista a la expresión rectangular sucede que:

• En el caso de un vector, hablamos de sus coeficientes y sus componentes: los coeficientes son los módulos en cada dirección, cuánto tiene el vector de X y cuánto de Y, pero no llevan "encima" ninguna información sobre esa dirección; los componentes en cambio son el producto de esos módulos por los respectivos vectores unidad de cada dirección, a veces llamados versores.
• En cambio, en el caso de los números complejos todo va junto: el número i que acompaña a la parte imaginaria, es como si fuera el versor del eje imaginario, mientras que la parte real va acompañada de un implícito y sencillo número 1, que sería el versor del eje real.

Lo cual nos lleva a la misma conclusión: cuando multipliquemos un número complejo, no podremos evitar combinar también esa especie de versores que lleva incorporados y que informan sobre su ángulo o fase; no pasa lo mismo con los vectores, donde nos lanzamos a multiplicar los coeficientes y si acaso lo hacemos de forma que seleccione los que apuntan en la dirección coincidente o los que lo hacen en la no coincidente.

Multiplicar números complejos es multiplicarlo todo

En efecto, como acabamos de ver, el número complejo lo lleva todo encima (la información sobre módulo y la de ángulo), los dos adjetivos, por lo que cuando se aplica a otro número no puede evitar aportarle esas dos cualidades.

Si esto lo intentamos ver en la expresión rectangular, se barrunta que es así, aunque de modo borroso. Por ejemplo, para multiplicar (a +bi) con (c+di), se aplican las reglas generales del álgebra, esto es, se multiplica a con b y ci, así como bi con c y di y se suma todo:

(a +bi)(c+di)
= ac + adi + bci + bdi^2
= ac + (ad+bc)i + bd(-1)
= (ac-bd) + (ad+bc)i

Es de destacar que cuando se multiplican entre sí los imaginarios, obtenemos i^2, que es -1, es decir un número real negativo, mientras que las combinaciones de real con imaginario se traducen en un nuevo valor imaginario.

¿Qué surge de esta mezcolanza? Como decía, podemos adivinar que el resultado conlleva un cierto redimensionamiento (cambia el radio) y rotación (cambia el ángulo), pero es difícil determinar cómo, porque cada componente (real e imaginario) lleva en su seno las dos cosas y vaya usted a saber cómo se combinan...

Todo es mucho más fácil si pasamos a la multiplicación de las coordenadas polares, porque aquí los dos aspectos están nítidamente separados. El producto tendrá un módulo que será multiplicación de los módulos de cada multiplicando y una inclinación igual a la suma de los ángulos. Por ejemplo:

(r * e^iθ )(s * e^iα)=r *s*e^iθ+α

Claro, aquí no se entiende qué pinta el nº e ni qué significa el exponente i, pero es que eso solo se comprende con la versión adverbial de la historia, que pronto abordaremos.

Multiplicar vectores mediante el producto escalar es multiplicar sólo la "coincidencia de cualidades"

En efecto, aquí en cambio no se multiplica todo, solo lo coincidente, porque eso es lo que requiere el problema que así se resuelve. Conviene verlo con un ejemplo físico. El clásico es el de un carrito del que vamos tirando en diagonal. La fuerza aplicada tiene, por tanto, un componente en la dirección del desplazamiento del carro y otro perpendicular al suelo que no ayuda en nada. De esta forma, si queremos conocer el trabajo realizado, que es el producto de fuerza por desplazamiento, hay que multiplicar sólo el desplazamiento que efectivamente existe por la fuerza que lo ha propiciado.

Y cuando se multiplican los vectores mediante este tipo de producto, se hace una de dos:

• se multiplican los módulos y al resultado se le aplica una ratio, un %, que es el coseno del ángulo que forman entre los dos vectores.
• o cada componente se multiplica con su homólogo (x con x'; y con y') y los productos se suman.

¿Por qué tanto uno como otro método arrojan "coincidencia"?

Es más fácil verlo con el primer método. Aquí lo primero que hace es multiplicar los módulos sin preocuparse de direcciones. Pero luego el % que aplica (el coseno) es el ratio de la similaridad direccional. En efecto, el coseno es la razón entre cateto contiguo e hipotenusa. Se supone que el valor del radio (hipotenusa) es 1. Cuando un vector está superpuesto sobre otro (ángulo 0, vectores paralelos), todo el triángulo es cateto contiguo; el valor de éste es el de la hipotenusa = 1. A medida que un vector rota y el ángulo respecto del otro crece, el triángulo se espiga, el cateto contiguo disminuye y el coseno lo hace con él, denotando que la similaridad disminuye. 

Ahora bien, puede resultar imposible medir ese ángulo y el correspondiente coseno. En estos casos, cuando el ángulo es invisible, se puede recurrir al segundo sistema, que es una especie de método ciego o de "fuerza bruta", ya que consiste en ir combinando uno a uno los componentes de cada vector, en la esperanza de que cada una de estas batallas aporta una opinión sobre la coincidencia direccional: 

• si los componentes correspondientes a una dirección tienen el mismo signo (ya sea + o -), el producto será + y tanto > cuanto > sean los componentes, denotando de esta forma una gran coincidencia;
• cuando un componente es 1, al menos se confirma el otro;
• cuando es 0, esto significa que un vector no tiene componente alguno en esa dirección (no hay ninguna coincidencia)
• y cuando tienen distinto signo, el resultado será  negativo, tanto > cuanto > sean los componentes, denotando así una fuerte discrepancia.

Y la hora de hacer balance final y sumar los productos, el resultado neto será positivo o negativo dependiendo de si en conjunto prevalecen las fuerzas discrepantes o las coincidentes. Ese resultado será pues, también, el producto de los módulos, pero sólo en la medida de la dirección coincidente.

Como se puede apreciar, esto de la similaridad es un juicio global, que se refiere a todas las direcciones y a ninguna en concreto. Por eso, su resultado no es un vector sino un escalar (un objeto que sólo tiene módulo, no dirección).

Multiplicar vectores mediante el producto vectorial es multiplicar sólo la "discrepancia de cualidades"?

De nuevo aquí no se multiplica todo, si bien en este caso lo que se multiplica es lo discrepante. la razón es también que así lo requiere el problema en juego. 

Lo podemos visualizar con este este ejemplo: un gran destornillador clavado en el suelo, unido a un palo en perpendicular y del mismo tira un buey andando en círculos. Si el buey gira en sentido de las agujas del reloj, atornilla (el destornillador se hunde en el suelo); si recula en sentido contrario a las agujas, desatornilla.

Aquí los dos vectores que se multiplican son el palo paralelo al suelo del que tira el buey (el radio) y la fuerza con la que tira. Como hemos visto antes, para rotar un objeto hay que aplicarle una fuerza perpendicular, esto es, una que le dé una dirección que no tiene. Evidentemente, si el buey empujara el palo en paralelo al mismo, solo conseguiría encogerlo o estirarlo, no rotarlo. Y si la empujara con un poco de cada componente, pues sólo sería el nuevo (el perpendicular) el que surtiría efecto rotatorio. Por otro lado, al buey le será más fácil mover el mecanismo cuanto más largo sea el palo; esto es, cuanto mayor sea la longitud del radio. La razón física... debe ser algo parecido a por qué funciona la palanca. 

En conclusión, el efecto útil, la fuerza con la que rotará el artilugio ("torque"se llama a esto) será el producto del radio (vector que va desde el eje de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza) por el componente perpendicular al mismo de la fuerza aplicada. En otras palabras, lo que buscamos en este caso (el torque) depende de la discrepancia entre los dos vectores, de cuán distinta es la fuerza del radio y de la magnitud de esas cosas que son distintas.

Matemáticamente, esto se expresa:

- De forma bastante clara, mediante las coordenadas polares: se multiplican los módulos y se aplica el % o ratio del seno del ángulo que forman el vector fuerza y el vector radio (el ángulo pequeño, en concreto). Es lógico porque el seno es el cateto opuesto, el que está acogotado y es 0 cuando los vectores tienen la misma dirección (son paralelos) y máximo (= 1) cuando no comparten ninguna (son perpendiculares). Y aquí es la medida en que sucede esto último lo que nos interesa. Aquí lo que cuenta es, como decíamos, la "magnitud de la discrepancia".

- Si optamos por hacer el producto multiplicando entre sí las coordinadas rectangulares, no es tan diáfano, pero más o menos se adivina la razón de ser de la fórmula, que es esta:

Cx = AyBz - AzBy
Cy = AzBx - AxBz
Cz = AxBy - AyBx

Esto apunta a captar la "discrepancia": la magnitud de cada componente la deciden los diferentes, que son dos pares (por ejemplo, para saber la magnitud x del vector resultante hay que preguntar al y de a y al z de b, así como al z de a y al y de b) y esas opiniones no se suman entre sí, sino que se haya la diferencia entre las mismas.

A diferencia de lo que sucedía en el producto escalar, el resultado de este producto sí es un vector, porque tiene dirección (aunque en puridad se dice que es un pseudovector). En concreto, uno que es perpendicular tanto al vector radio como al vector fuerza y que no es otro que el destornillador que se hunde o se separa de la tierra. ¿Por qué? Porque lo que hemos hecho es combinar direcciones no comunes y ello se traduce, lógicamente, en la la dirección que no tienen ni el radio ni la fuerza, la perpendicular a ambos. 

Por fin, para detectar el sentido en que avanza el destornillador se recomienda la "regla de la mano derecha": con el índice se apunta en la dirección del radio y con el dedo medio en la de la fuerza; el sentido es el que entonces marca el dedo gordo. Yo, la verdad, me hago un lío con lo de los dedos. Prefiero esta otra regla: sentido Anti-horario, gira hacia Arriba; sentido Horario, Horada.