La Manada y el concepto de multiplicación: una reflexión sobre la abstracción (II)

The weakest living creature, by concentrating his powers on a single object, can accomplish something. The strongest, by dispensing his over many, may fail to accomplish anything. The drop, by continually falling, bores its passage through the hardest rock. The hasty torrent rushes over it with hideous uproar, and leaves no trace behind.

Thomas Carlyle, essayist and historian (4 Dec 1795-1881)

(Cita tomada de Wordsmith.org)

Mientras llegaba la segunda entrega de este artículo, ha progresado el caso “La Manada”: se ha dictado la sentencia del TSJ de Navarra que resuelve el recurso de apelación contra la dictada por la Audiencia Provincial. El fallo confirma la condena por abusos, en lugar de violación. Y se suceden las manifestaciones de repulsa, en la calle y de los políticos. Las de la calle me inspiran comprensión y simpatía, porque son una reacción emocional. Las de los políticos, empero, me dejan más perplejo. Aquí el problema, como pasó recientemente con el AJD de las hipotecas, es que estamos ante una norma ambigua y si hubiera que enmendarla, que se haga, después de un estudio profundo y sereno. Ese es el oficio de los gobiernos y legisladores. Pero no me parece justo cargar, con mayor o menor comedimiento, contra los jueces, como si fueran retrógados, cuando ellos no han hecho más que aplicar la Ley vigente conforme a una interpretación que, si peca de algo (y creo que en efecto peca), es de mostrar excesivo respeto por los principios más progresistas.

En efecto, como la imagen de arriba (¿hacia dónde va el tren?), el Código Penal español presenta aquí un punto oscuro o ambiguo. Estas situaciones en las que el delincuente no utiliza amenazas, expresas o tácitas, pero sí crea una “atmósfera coactiva”, están a caballo entre la “agresión” y el “abuso”: se puede juzgar que esa atmósfera intimida y tuerce la voluntad (violación) o que por el contrario genera una situación de incapacidad de expresar dicha voluntad (abusos). De este modo, puestos a construir una analogía, cabe hacerlo estirando el concepto de violacion o el de abuso. La paradoja es que lo progresista (lo garantista, lo que protege al ciudadano frente a la arbitrariedad del poder) es entender que en el Derecho Penal no cabe la analogía en contra del reo y menos cuando ello conlleva apartarse de una línea jurisprudencial anterior. En razón de lo cual, no me extraña que nuestros jueces, que están educados en la observancia de esos valores, se hayan decantado por la condena más liviana. Ciertamente, eso supone optar a ciegas por un valor abstracto (la seguridad jurídica, el principio de legalidad), sin plantearse a fondo cuál es su razón de ser. Es lo que hizo el Tribunal Europeo de Derechos Humanos en el caso Parot, lo cual no me gusta, porque (como mantenía aquí) es un planteamiento maximalista que no hace la debida ponderación con el otro valor en liza, que es la justicia. Por eso pienso que aquí también cabe otro enfoque, el que sugiero en la parte (I) de este comentario y de nuevo resumo. Consiste en revolver en el concepto de intimidación, a la luz del objetivo que persigue la norma, con el fin de hallar una forma de mejor proteger los derechos de la víctima, que quepa dentro del tenor literal y el espíritu de la disposición. Esto es posible, creo que sería una forma moderna de entender el Derecho Penal, donde el Juez ya no sea un autómata que aplique un algoritmo, sino una computadora dotada de inteligencia artificial, que lee los big data de los avances científicos y sociológicos y constata de esta manera que la mayoría de las mujeres objeto de un ataque sexual se quedan paralizadas, como estrategia autoprotectora, de modo consciente o inconsciente, en razón de lo cual inaplicar el tipo de violación en estos casos equivale a privarlo de buena parte de su contenido. En definitiva, en la tensión entre seguridad y justicia, se trata de buscar maneras de dar más juego a la segunda, sin que sufra demasiado la primera. Se trata de decidir a dónde queremos que vaya el tren, con base en un análisis ponderado. Ahora bien, si uno se lo toma esto como si fuera el River – Boca disputado ayer en Madrid, si uno es un forofo incondicional de la justicia en detrimento de la seguridad, entonces para ser coherente, si se significa ahora discrepando de los jueces españoles por castigar con 4 o 5 años menos a los brutos de La Manada, debió haber protestado con igual vehemencia ante la sede del Tribunal de Derechos Humanos de Estrasburgo, cuando éste (caso Parot) propició la salida de asesinos múltiples de las cárceles, sacrificando también la justicia en aras de la seguridad jurídica…

Pero lo prometido es deuda y vayamos a un comentario de corte parecido, esta vez en el ámbito matemático. Creo que esto es muy útil para las gentes de letras, porque les puede reportar, por una vía amigable, la satisfacción de comprender (tan bien o incluso mejor que los expertos) ciertas cosas que antes les parecerían crípticas. En cualquier caso, este ejercicio entrena en el arte de pensar con claridad, que es algo útil a todos los efectos. (Ello justifica la cita de Mr Carlyle reflejada al principio; dejo como deberes para el lector deducir por qué…) 

Al tajo, pues. Al adentrarnos en la selva matemática, el riesgo (al que a veces nos inducen los gurús y eminencias de esta disciplina) es también (como pasaba en los casos Parot o La Manada) aceptar los conceptos abstractos, los que están en las cimas de la escalera del razonamiento, sin intentar indagar cuáles son, uno por uno, los peldaños que conducen hasta ellos. En concreto, está de moda afirmar que lo que nos enseñaban en el colegio (la multiplicación es suma repetida) está muy equivocado, pues la multiplicación sería algo distinto e independiente de la suma. Aquí y aquí pueden ver ejemplos de esa crítica contra lo que se llama el error del MIRA (Multiplication is Repeated Addition).

Yo creo que esto es en parte verdad y en parte mentira. Es verdad que, si se quiere definir la multiplicación con una esencia que esté presente en todas sus modalidades, hay formas mejores de hacerlo que con el MIRA; incluso me parece que la que suelen emplear los gurús se queda estrecha y existe otra más delgada, más abstracta y por ende omnicomprensiva. Pero, por otro lado, no renuncio a ligar ese espíritu, ese patrón, con la operación más sencilla, la suma; el ejercicio puede fallar en algún punto, mas siempre es loable porque enseña a pensar buscando en la base el fundamento de la cima; es más, ayuda a subir más alto, mediante el sencillo expediente de repetir el mismo mecanismo que nos permitió progresar hasta esa misma cota, que ahora se convierte en plataforma para un nuevo salto.

Para ambas cosas, me intento servir de un modelo para entender las mates que está basado en la gramática. Al fin y al cabo, el matemático es también un lenguaje, como el español o el inglés, y deberían existir unas claves que permitan traducir del uno a los otros. La clave que vengo usando, y la verdad es que me resulta fructífera, es advertir que los números son adjetivos y son adverbios.

Comencemos con lo de los adjetivos, que sirve para dar con una definición de la multiplicación que suena bien y llega lejos.

Nada descubro si recuerdo que la gramática clasifica los números como adjetivos “cardinales”, que nos informan sobre una cualidad o propiedad de una cosa, relativa a su cantidad. Por ejemplo, si uno ve el número 4, en realidad lo que debe imaginar es un monedero y pensar que éste tiene una propiedad, un atributo, una cualidad: es “cuatroso”, tiene “cuatrismo”, lo que puede significar que contiene 4 monedas de 1 €. (Ojo, porque es importante añadir mentalmente el sustantivo: a menudo las matemáticas nos sitúan frente a un número y nos sentimos obligados a entenderlo tal cual, mas esto pone en un apuro a la mente, porque ella busca la analogía con las cosas de la realidad y en la vida práctica no solemos ver adjetivos, y menos de los cardinales, que anden por ahí sueltos… Veremos cómo esta reflexión se revela también útil cuando hablemos del número e.)

Pues bien, la multiplicación consiste en atribuir a un objeto un adjetivo, una propiedad. O si la cosa ya está adjetivada (recordemos nuestro monedero contenedor de 4 monedas), el producto con otro guarismo (2, por ejemplo) es una combinación de cualidades: podemos imaginar que una varita mágica roza cada una de las 4 monedas originarias, que eran de 1€, y las convierte en piezas de 2€. De esta forma el monedero pasa a ser “cuatroso” y “dososo” a la vez, o sea, “ochoso”.

Esto se parece a la definición alternativa de multiplicación que dan los expertos, los cuales hablan de scaling, que podemos traducir por redimensionamiento: hemos escalado el monedero (el multiplicando) haciendo crecer todas y cada una de sus unidades en la proporción que indica el multiplicador (2).

Sin embargo, el modelo "multiplicar es adjetivar" es una idea más estilizada, que se maneja mejor a la hora de encajar en situaciones novedosas. Por ejemplo:

1º           Pensemos en un palo de 1 m de longitud. Lo multiplicamos por -1, con lo cual el extremo del palo sigue estando a la misma distancia del origen, pero mira en sentido contrario. No hay en realidad redimensionamiento (el valor absoluto es el mismo). ¿Se podría decir entonces que la cualidad atribuida al objeto consiste en una nueva orientación, esto es, estar colocado mirando desde el origen hacia la izquierda? En puridad, no, porque si volvemos a multiplicar por -1, no le atribuimos al objeto más de esa cualidad (mirar a la izquierda), sino que lo devolvemos al punto de partida (-1 por -1 es +1). Podíamos entonces afirmar que la cualidad asignada es "relativa" y consiste en invertir el objeto, ponerle mirando para el lado contrario al de partida. Sin embargo, yo diría directamente, anticipando lo que viene a continuación, que el atributo con el que hemos adornado al palo es el de estar rotado 180 grados (disfrutar de medio giro), respecto de su posición inicial. 

(Aunque esto es un poco hacer spoiling, porque ya cuento algo de  la versión adverbial, diré que un palo rota cuando se tira del mismo "perpendicularmente", en lugar de longitudinalmente o en paralelo con su extensión. En el Apéndice detallo por qué.)

2º           ¿Y si queremos dotar al palo de marras de una cualidad intermedia, la de estar rotado 90 grados (un cuarto de giro)? En este caso debemos multiplicar no por -1, sino por aquello que (multiplicado dos veces) daría -1, esto es, por raíz cuadrada de -1. Esta cualidad recibe una denominación especial, la de número imaginario y se denota con la letra i. También se puede atribuir varias veces: hacerlo en 2 ocasiones equivale a multiplicar por -1 (giro de 180 grados), hacerlo 3 es multiplicar por -i (270 grados) y hacerlo por 4 es como multiplicar por 1 y devuelve el palo al punto de partida (360 grados).

(Los números quedan así divididos en dos grandes categorías: reales e imaginarios. La nomenclatura es por supuesto engañosa: en realidad, como sabemos, todos los números son adjetivos y, por tanto, abstracciones; todos son en puridad imaginarios; lo real y tangible son sólo las cosas que adjetivan.) 

3º          Hasta ahora hemos multiplicado el palo bien por un número real (redimensionándolo) o por otro imaginario (rotándolo), pero esto último lo hemos hecho siempre de forma que el buen palo aterrizaba siempre sobre un eje. ¿Y si queremos  más flexibilidad, esto es, la capacidad de imprimir al palo las dos cosas a la vez, escalado y rotación y además una rotación más variada, que pueda acabar en cualquier ángulo intermedio? Para esto necesitamos multiplicarlo por un número complejo, es decir, uno que combina las dos cualidades, los dos adjetivos: uno que rota y otro que re-escala. De este modo, la combinación del palo con un número complejo lo estirará y le dotará de un ángulo. Y la multiplicación de dos complejos entre sí conlleva también la combinación de adjetivos longitudinales (se multiplican los radios) y rotacionales (se suman los ángulos). 

(Dos cositas: Una, aquí estoy viendo el número complejo en la forma polar-exponencial, que es la que separa el radio -re-escalable y re-escalador- del ángulo. Esto no coincide con la parte real y la parte imaginaria, pues estas mezclan ambas cosas. Lo explico ene l Apéndice. Otra cosa,  ¿pero por qué se "suman" los ángulos? ¿Por qué en este aspecto la multiplicación se resuelve en suma? No lo podemos explicar aún, porque nos hemos adelantado a examinar  la versión adjetival de los números, que es la sintética, la que condensa en un adjetivo un conjunto de operaciones; para entender esta cuestión, necesitamos dar un paso atrás, abordando la versión adverbial, que es la que desvela precisamente ese conjunto de operaciones. Lo haremos más adelante.)   

4º           Entremos ahora en el mundo de los vectores, que son objetos que -también- reúnen varias cualidades. La verdad es que un número complejo, que tiene dos componentes, y un vector de dos dimensiones, se parecen bastante. Pese a todo, son objetos distintos. La distinción, por lo que he visto, suele hacerse de muy diversas formas y genera cierto debate. Volveremos a este tema. Aquí mencionaré una forma de distinguirlos que viene a cuento, que es la que atiende a cómo funciona la multiplicación en cada ámbito. Así los números complejos encierran dos adjetivos, es cierto, pero ambos se combinan plenamente en su multiplicación.  Por su parte, los vectores se pueden descomponer en múltiples dimensiones (típicamente, direcciones, aunque puede haber otras modalidades), que podemos ver también como adjetivos, y hasta pueden tenerlas infinitas (en cuyo caso hablamos de funciones, las cuales pueden ser de hecho funciones reales o complejas), pero nunca se multiplican todas ellas en su integridad: en el llamado producto punto o producto escalar (dot product) sólo se mezclan los adjetivos de los vectores (sus magnitudes o módulos en diversas dimensiones) en la medida en que coinciden (apuntan en la misma dirección, en el caso típico) y en el producto cruzado o producto vectorial (cross product) sólo en tanto y cuanto dichas cualidades difieren (apuntan en direcciones distintas).

(En el Apéndice explico cómo se consigue lo uno -combinar todo, en los números complejos- o lo otro -combinar sólo lo que se comparte o lo que no se comparte- mediante operaciones matemáticas.)

5º           Por fin, en las lecciones sobre cálculo infinitesimal uno se enfrenta a integrales. Por ejemplo, tiene una función que representa la velocidad de un coche y lo que quiere es saber cuánto se ha desplazado en determinado lapso de tiempo. En el fondo esto es un producto de lo más vulgar: se multiplica la velocidad por el tiempo transcurrido, digamos 10 km/h x 4 horas. En nuestra terminología, se le dota a esa velocidad de 10 de “cuatrismo” o al 4 de “diecismo”. El problema al que se enfrenta el cálculo es que la velocidad sea variable a lo largo del tiempo. Lo soluciona multiplicando la velocidad en cada instante (o momento de tiempo infinitamente pequeño) por el instante correspondiente y sumando los resultados. Lo cual no deja de ser un producto plural, en el que participan infinitos actores, cada uno de los cuales se lleva su adjetivo o cualidad, y al final se suman las contribuciones de todos.

Y me dejo otras operaciones análogas, que iré añadiendo a este post en cuanto tenga ocasión. Pero sirve esto para, simplemente, apuntar la idea de que la multiplicación pulula por toda la matemática, aunque lo haga disfrazada y que, para desenmascararla (y comprender cómo funciona en cada una de sus variedades), vale esta idea omnipresente: un producto, con sus diversas caras, siempre consiste en adjetivar una cosa, atribuirle una cualidad. 

Naturalmente, con las anteriores explicaciones no se entienden del todo las anteriores figuras ni otras afines, pero tampoco he podido explicarlas más porque, para comprenderlas, se requiere la perspectiva que nos falta, la analítica, la que se aplica a desentrañar qué operaciones ha sido preciso realizar y de qué manera para alcanzar las cualidades que luego se condensan en los correspondientes adjetivos. Es decir, la perspectiva adverbial, que abordaremos en una próxima entrada del Blog.

APÉNDICE:

¿Por qué tirar en perpendicular es "rotar"? 

Imaginemos un palo sujeto a un soporte mediante una anilla. 

Cuando tiramos de él en paralelo a su longitud, lo estiramos o encogemos, mientras que si tiramos en perpendicular, solo cambiamos su dirección, sin alterar su magnitud (su longitud). El motivo es que una dirección perpendicular a otra es algo "completamente distinto". Un palo paralelo a otro comparte en todo su misma dirección. Uno con un ángulo intermedio, que no llega a los 90 grados, o se pasa, tiene algún componente en común. Pero uno perpendicular no tiene ninguno. Por eso, si se tira de algo en perpendicular no se le da más de lo que tenía, no se aumenta su magnitud en ninguna medida, sólo se le imbuye de una cualidad (una dirección) hasta ahora desconocida, de la que no tenía ningún valor. Si tenemos una pelota y la pateamos hacia el cielo (en perpendicular al suelo), no avanza nada en paralelo al terreno, ni hacia la portería contraria ni hacia la propia. Por el contrario, si la golpeamos en diagonal, adquiere algo de las dos direcciones: sube y avanza. 

Pues bien, la perpendicularidad es el tratamiento indicado cuando queremos que un objeto progrese describiendo una circunferencia. Girar consiste en mantener siempre la misma distancia respecto del centro de rotación, sin ganar ni perder magnitud en esa dirección, y en cambio adquirir constantemente una nueva dirección. Y para eso nos viene de perlas el tirón perpendicular, el cual no tiene ningún componente paralelo al radio o radial, es decir, que lo acerque o lo aleje del centro, y sí tiene el efecto de atribuir una nueva dirección. Pero, demonios, entonces el problema es que debido a esos continuos cambios de dirección, lo que era perpendicular hace un momento, ahora ha dejado de serlo... Bien, entonces debemos hacer algo muy exigente, pero posible: ir adaptando de forma continua la disposición entre radio y tirón, de forma que sea siempre un ángulo recto. 

En la práctica, estas condiciones se pueden asegurar, por ejemplo, haciendo que el palo sea rígido (no admite estiramiento ni encogimiento, ni alejamiento ni acercamiento radial) y puede rotar gracias a la anilla (gracias a esto la dirección radial se ajusta para que nuestro tirón sea siempre perpendicular a ese radio). Caben otras situaciones físicas que garanticen esto, como un terreno cóncavo dentro del cual gira una moto. 

En matemáticas, en cambio, todo eso no les preocupa: se da por hecho que, cuando se adjetiva un objeto con el número i, todo se ordena como por arte de magia, de forma que se tira del objeto siempre en perpendicular, hasta darle la cualidad de estar girado 90 grados respecto de su posición original.

Dos formas de ver los números complejos y vectores

La verdad es que, como decía, números complejos y vectores se parecen mucho. Los primeros son como una flecha anclada al origen del sistema de coordenadas, que puede apuntar en diversas direcciones, como si fuera el radio de una circunferencia (de hecho, se utilizan para describir fenómenos de rotación u oscilación). Y, si les "damos vida" (los permitimos girar, adquiriendo distintos valores sucesivos), pueden hacerlo en sentido horario o anti-horario. 

Los vectores, por su parte, son también flechas que tienen magnitud, dirección y sentido; pueden empezar desde el origen o no.

En cualquier caso, ambos tipos de objetos se pueden describir de dos maneras:

• mediante lo que se llama sus coordenadas polares: (i) módulo (o longitud del "palo") y (ii) ángulo respecto del eje horizontal (que llamamos "real" cuando se trata de números complejos y "X" al al hablar de vectores en un espacio de 2 o 3 dimensiones)
• o mediante sus coordenadas rectangulares: sus proyecciones sobre los ejes real e imaginario (números complejos) o X e Y (en el caso de vectores, si es que el espacio es de 2 dimensiones, aunque pueden ser más, incluso infinitas).

Sin embargo, esta apariencia de igualdad esconde una interesante diferencia.

En cuanto a la expresión "polar", en el caso de los números complejos se plasma en un número (r * e^iθ), que puede ser multiplicado por otro similar; en cambio, entre los vectores, la información sobre el ángulo puede servir para reconstruir el mismo, pero no se convierte en un número "multiplicable".

En paralelo con lo anterior, si volvemos la vista a la expresión rectangular sucede que:

• En el caso de un vector, hablamos de sus coeficientes y sus componentes: los coeficientes son los módulos en cada dirección, cuánto tiene el vector de X y cuánto de Y, pero no llevan "encima" ninguna información sobre esa dirección; los componentes en cambio son el producto de esos módulos por los respectivos vectores unidad de cada dirección, a veces llamados versores.
• En cambio, en el caso de los números complejos todo va junto: el número i que acompaña a la parte imaginaria, es como si fuera el versor del eje imaginario, mientras que la parte real va acompañada de un implícito y sencillo número 1, que sería el versor del eje real.

Lo cual nos lleva a la misma conclusión: cuando multipliquemos un número complejo, no podremos evitar combinar también esa especie de versores que lleva incorporados y que informan sobre su ángulo o fase; no pasa lo mismo con los vectores, donde nos lanzamos a multiplicar los coeficientes y si acaso lo hacemos de forma que seleccione los que apuntan en la dirección coincidente o los que lo hacen en la no coincidente.

Multiplicar números complejos es multiplicarlo todo

En efecto, como acabamos de ver, el número complejo lo lleva todo encima (la información sobre módulo y la de ángulo), los dos adjetivos, por lo que cuando se aplica a otro número no puede evitar aportarle esas dos cualidades.

Si esto lo intentamos ver en la expresión rectangular, se barrunta que es así, aunque de modo borroso. Por ejemplo, para multiplicar (a +bi) con (c+di), se aplican las reglas generales del álgebra, esto es, se multiplica a con b y ci, así como bi con c y di y se suma todo:

(a +bi)(c+di)
= ac + adi + bci + bdi^2
= ac + (ad+bc)i + bd(-1)
= (ac-bd) + (ad+bc)i

Es de destacar que cuando se multiplican entre sí los imaginarios, obtenemos i^2, que es -1, es decir un número real negativo, mientras que las combinaciones de real con imaginario se traducen en un nuevo valor imaginario.

¿Qué surge de esta mezcolanza? Como decía, podemos adivinar que el resultado conlleva un cierto redimensionamiento (cambia el radio) y rotación (cambia el ángulo), pero es difícil determinar cómo, porque cada componente (real e imaginario) lleva en su seno las dos cosas y vaya usted a saber cómo se combinan...

Todo es mucho más fácil si pasamos a la multiplicación de las coordenadas polares, porque aquí los dos aspectos están nítidamente separados. El producto tendrá un módulo que será multiplicación de los módulos de cada multiplicando y una inclinación igual a la suma de los ángulos. Por ejemplo:

(r * e^iθ )(s * e^iα)=r *s*e^iθ+α

Claro, aquí no se entiende qué pinta el nº e ni qué significa el exponente i, pero es que eso solo se comprende con la versión adverbial de la historia, que pronto abordaremos.

Multiplicar vectores mediante el producto escalar es multiplicar sólo la "coincidencia de cualidades"

En efecto, aquí en cambio no se multiplica todo, solo lo coincidente, porque eso es lo que requiere el problema que así se resuelve. Conviene verlo con un ejemplo físico. El clásico es el de un carrito del que vamos tirando en diagonal. La fuerza aplicada tiene, por tanto, un componente en la dirección del desplazamiento del carro y otro perpendicular al suelo que no ayuda en nada. De esta forma, si queremos conocer el trabajo realizado, que es el producto de fuerza por desplazamiento, hay que multiplicar sólo el desplazamiento que efectivamente existe por la fuerza que lo ha propiciado.

Y cuando se multiplican los vectores mediante este tipo de producto, se hace una de dos:

• se multiplican los módulos y al resultado se le aplica una ratio, un %, que es el coseno del ángulo que forman entre los dos vectores.
• o cada componente se multiplica con su homólogo (x con x'; y con y') y los productos se suman.

¿Por qué tanto uno como otro método arrojan "coincidencia"?

Es más fácil verlo con el primer método. Aquí lo primero que hace es multiplicar los módulos sin preocuparse de direcciones. Pero luego el % que aplica (el coseno) es el ratio de la similaridad direccional. En efecto, el coseno es la razón entre cateto contiguo e hipotenusa. Se supone que el valor del radio (hipotenusa) es 1. Cuando un vector está superpuesto sobre otro (ángulo 0, vectores paralelos), todo el triángulo es cateto contiguo; el valor de éste es el de la hipotenusa = 1. A medida que un vector rota y el ángulo respecto del otro crece, el triángulo se espiga, el cateto contiguo disminuye y el coseno lo hace con él, denotando que la similaridad disminuye. 

Ahora bien, puede resultar imposible medir ese ángulo y el correspondiente coseno. En estos casos, cuando el ángulo es invisible, se puede recurrir al segundo sistema, que es una especie de método ciego o de "fuerza bruta", ya que consiste en ir combinando uno a uno los componentes de cada vector, en la esperanza de que cada una de estas batallas aporta una opinión sobre la coincidencia direccional: 

• si los componentes correspondientes a una dirección tienen el mismo signo (ya sea + o -), el producto será + y tanto > cuanto > sean los componentes, denotando de esta forma una gran coincidencia;
• cuando un componente es 1, al menos se confirma el otro;
• cuando es 0, esto significa que un vector no tiene componente alguno en esa dirección (no hay ninguna coincidencia)
• y cuando tienen distinto signo, el resultado será  negativo, tanto > cuanto > sean los componentes, denotando así una fuerte discrepancia.

Y la hora de hacer balance final y sumar los productos, el resultado neto será positivo o negativo dependiendo de si en conjunto prevalecen las fuerzas discrepantes o las coincidentes. Ese resultado será pues, también, el producto de los módulos, pero sólo en la medida de la dirección coincidente.

Como se puede apreciar, esto de la similaridad es un juicio global, que se refiere a todas las direcciones y a ninguna en concreto. Por eso, su resultado no es un vector sino un escalar (un objeto que sólo tiene módulo, no dirección).

Multiplicar vectores mediante el producto vectorial es multiplicar sólo la "discrepancia de cualidades"?

De nuevo aquí no se multiplica todo, si bien en este caso lo que se multiplica es lo discrepante. la razón es también que así lo requiere el problema en juego. 

Lo podemos visualizar con este este ejemplo: un gran destornillador clavado en el suelo, unido a un palo en perpendicular y del mismo tira un buey andando en círculos. Si el buey gira en sentido de las agujas del reloj, atornilla (el destornillador se hunde en el suelo); si recula en sentido contrario a las agujas, desatornilla.

Aquí los dos vectores que se multiplican son el palo paralelo al suelo del que tira el buey (el radio) y la fuerza con la que tira. Como hemos visto antes, para rotar un objeto hay que aplicarle una fuerza perpendicular, esto es, una que le dé una dirección que no tiene. Evidentemente, si el buey empujara el palo en paralelo al mismo, solo conseguiría encogerlo o estirarlo, no rotarlo. Y si la empujara con un poco de cada componente, pues sólo sería el nuevo (el perpendicular) el que surtiría efecto rotatorio. Por otro lado, al buey le será más fácil mover el mecanismo cuanto más largo sea el palo; esto es, cuanto mayor sea la longitud del radio. La razón física... debe ser algo parecido a por qué funciona la palanca. 

En conclusión, el efecto útil, la fuerza con la que rotará el artilugio ("torque"se llama a esto) será el producto del radio (vector que va desde el eje de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza) por el componente perpendicular al mismo de la fuerza aplicada. En otras palabras, lo que buscamos en este caso (el torque) depende de la discrepancia entre los dos vectores, de cuán distinta es la fuerza del radio y de la magnitud de esas cosas que son distintas.

Matemáticamente, esto se expresa:

- De forma bastante clara, mediante las coordenadas polares: se multiplican los módulos y se aplica el % o ratio del seno del ángulo que forman el vector fuerza y el vector radio (el ángulo pequeño, en concreto). Es lógico porque el seno es el cateto opuesto, el que está acogotado y es 0 cuando los vectores tienen la misma dirección (son paralelos) y máximo (= 1) cuando no comparten ninguna (son perpendiculares). Y aquí es la medida en que sucede esto último lo que nos interesa. Aquí lo que cuenta es, como decíamos, la "magnitud de la discrepancia".

- Si optamos por hacer el producto multiplicando entre sí las coordinadas rectangulares, no es tan diáfano, pero más o menos se adivina la razón de ser de la fórmula, que es esta:

Cx = AyBz - AzBy
Cy = AzBx - AxBz
Cz = AxBy - AyBx

Esto apunta a captar la "discrepancia": la magnitud de cada componente la deciden los diferentes, que son dos pares (por ejemplo, para saber la magnitud x del vector resultante hay que preguntar al y de a y al z de b, así como al z de a y al y de b) y esas opiniones no se suman entre sí, sino que se haya la diferencia entre las mismas.

A diferencia de lo que sucedía en el producto escalar, el resultado de este producto sí es un vector, porque tiene dirección (aunque en puridad se dice que es un pseudovector). En concreto, uno que es perpendicular tanto al vector radio como al vector fuerza y que no es otro que el destornillador que se hunde o se separa de la tierra. ¿Por qué? Porque lo que hemos hecho es combinar direcciones no comunes y ello se traduce, lógicamente, en la la dirección que no tienen ni el radio ni la fuerza, la perpendicular a ambos. 

Por fin, para detectar el sentido en que avanza el destornillador se recomienda la "regla de la mano derecha": con el índice se apunta en la dirección del radio y con el dedo medio en la de la fuerza; el sentido es el que entonces marca el dedo gordo. Yo, la verdad, me hago un lío con lo de los dedos. Prefiero esta otra regla: sentido Anti-horario, gira hacia Arriba; sentido Horario, Horada.