La vida y los conjugados complejos

Gracias a la herramienta IF THIS THEN THAT, cada vez que publico una entrada en Blogger, automáticamente se da noticia de ello en Linkedin. Llega entonces al Blog algún visitante despistado que me pregunta: ¿y qué utilidad tienen en el mundo de los negocios estas historias que Usted cuenta? Pues la tienen, la tienen. Esta semana leía en prensa que en el centro de I+D de mi propia empresa se reclaman matemáticos. También se decía allí que no hay matemáticos en paro. Y el motivo que se daba es, precisamente, que esa disciplina enseña a hacer abstracciones o generalizaciones, lo cual a su vez es una forma excelente de resolver problemas, de los que se plantean en cualquier ámbito profesional.

Lo mismo se podría decir del Derecho, el cual, bien mirado, es -como vengo defendiendo- muy parecido a la matemática. Ambas disciplinas se preocupan de definir conceptos de forma precisa y sobre todo tratan de estirarlos al máximo, a fin de abarcar más y más fenómenos de la realidad, mediante el mecanismo al que antes me refería, el de la abstracción y la analogía. Ciertamente, el Derecho busca modificar esa realidad. Y pareciera que las Ciencias exactas sólo pretendieran describirla. Por eso, en el ámbito jurídico decimos que los conceptos se definen en función del fin perseguido, que pomposamente llamamos el espíritu de la norma. En cambio, los matemáticos y los físicos a menudo se centran en las propiedades de las cosas, en sí mismas consideradas. Esto es un error, sin embargo, porque en realidad el conocimiento, el de cualquier disciplina, no es más que una forma resolver problemas prácticos. Y ese fin es lo que, también para las Ciencias experimentales, ilumina el alcance y sentido de sus conceptos. (¡Advoco pues, sin ambages, por que los científicos se plieguen a la interpretación teleológica!)

Cuestión distinta es que en todos los ámbitos a menudo se olvida esto, incluso de forma deliberada. Abogados y políticos solemos jugar con los conceptos… no para aclararlos y hacerlos más útiles, sino a fin de crear confusión y sacar partido de ella, pues ése es el momento idóneo para arrimar el ascua a nuestra sardina. Se dice que el humor consiste en manipular el significado de las palabras, explotando sus ambigüedades y contradicciones y creando así propuestas absurdas y, por ende, risibles. Los juristas, frecuentemente, hacemos lo mismo, sólo que con más disimulo… Es más: si me apuran, tampoco los matemáticos pueden tirar la primera piedra, pues incurren en idéntico pecado (rodearse de una nube de tinta, al modo calamar) cuando se amparan en conceptos y razonamientos muy abstractos y difíciles de destripar para justificar posibilidades fantasmagóricas, que no resuelven ningún problema real: antes bien, crean los que no existen. Verbigracia, cuando se dicen cosas como que las ecuaciones tal o tal no es que prueben, pero “no descartan” la posibilidad del viaje en el tiempo…

Mas dejemos de lado el supuesto patológico, el del mal uso, y volvamos al bueno, para analizar un ejemplo concreto de una excelente técnica para resolver problemas, que ilustraré con un supuesto matemático, aunque también los habrá jurídicos y de cualquier otro tipo. Tanto me ha gustado esta técnica que me he quedado con una sensación de excitación y una percepción intuitiva, vaga pero prometedora, sobre si ese mismo truco, no sólo podría emplearse por los ejecutivos para aumentar los beneficios de sus empresas, sino que acaso… ¿acaso podría aportarle un sentido a la vida? No prometo nada, no obstante; sólo que me aplicaré a explicar la técnica en sí con mucho cariño, a fin de prepararla para un uso superior.

La idea base me la lanzó un vecino el verano pasado. Estando en la piscina, bajo el sol de Denia, prendió la conversación, algo que apenas había sucedido antes, pese a conocernos desde hacía varios años. Hablamos de varias cosas y en un momento dado me reveló que había estudiado Exactas. Esto me alborozó y aproveché para consultarle una cuestión como las que me suelen ocupar (una forma de entender las cosas, un planteamiento didáctico, en aquella ocasión relativo al cálculo diferencial). Me sugirió, más que una solución, un método: pasa al siguiente nivel, analiza el supuesto más complejo, pues a menudo lo elevado ayuda a entender lo elemental. Usé el truco en aquella ocasión y me sirvió. Y algo así es también lo que he estado haciendo en el último post. Mantenía en éste que en muchas situaciones anida algún elemento implícito, uno que tenemos tan asumido que no nos percatamos de que lo estamos aplicando. Y, claro, es al pasar al siguiente nivel, al subir un peldaño por la escalera de la abstracción, cuando ese elemento deviene imprescindible y empezamos a sospechar que estaba también presente, aunque disimulado, en el caso elemental. A partir de ahí, no sé si lo general ilumina lo particular o a la inversa. Supongo que hay que fluir o transitar entre lo uno y lo otro para ir fijando el significado que se persigue: subirse al helicóptero para, ganando una visión general de la película, adivinar qué detalles la componen y luego bajar al suelo y empuñar el microscopio para, escrutando las minucias, intuir el patrón que conforman cuando se combinan.

Además, tal y como anunciaba al principio, en todo este proceso ayuda sobremanera pensar en el objetivo práctico de la operación analizada, en su raison d’être, en el espíritu de la norma, el cual puede estar también más o menos oculto, pero se desvela a medida que se van aclarando cosas.

Toca pues ilustrar el método con un ejemplo de su aplicación.

Cualquier sabe lo que es el valor absoluto de un número. El de +2 y -2 es ꟾ2ꟾ, es decir, algo que vale lo mismo con independencia de si el número es positivo o negativo. No hace falta ninguna operación para averiguarlo. Es algo intuitivo: si el número es 0 o > 0, el valor absoluto es el propio número; si es < 0, se le quita el signo negativo.

Sin embargo, si consulta Usted cualquier manual o referencia (como la correspondiente entrada de Wikipedia), verá que allí le proponen también una operación matemática para hallar el valor absoluto: se trata de multiplicar el número por sí mismo y luego sacar la raíz cuadrada del resultado. Así, por ejemplo, tanto 2x2 como (-2)x(-2) dan +4, siendo así que √4 es 2. Alguno objetará que en realidad la raíz cuadrada de +4 es a la vez +2 y -2, pero -según los manuales- no es así en este contexto, donde √+4 quiere decir, efectivamente, 2.

Todo lo cual deja un cierto regusto de insatisfacción, ¿no es cierto? Para empezar, se cruza por aquí un nubarrón que a menudo desconcierta a muchos, no sólo en este caso: si lo negativo es lo que está "a la izquierda" o, si se quiere, "la deuda, la pérdida, la ausencia...", ¿por qué un número negativo multiplicado por otro negativo no da más de lo mismo, sino otro positivo? Y luego está lo que acabamos de confesar: ¿no es un poco arbitrario eso de ordenar que en este caso la raíz cuadrada de +4 no admita las dos soluciones, +2 y -2?

Ya tenemos pues unos pequeños enigmas. La solución, reza la técnica que propugno, consiste entonces en complicar las cosas. Hemos efectuado la operación con números reales, repitámosla con otros complejos.

Recordemos (véase el Apéndice de este otro post) que los complejos son aquellos números que tienen un componente en la recta de los reales y otro en un eje vertical, llamado eje imaginario. Son semejantes a un “vector posición”, que localiza un punto (en el plano formado por esos dos ejes, el llamado "plano complejo") mediante las coordenadas x e y, que aquí se llaman la parte real y la parte imaginaria. La diferencia más aparente con el vector es que la primera coordenada se computa en unidades del número real 1, mientras que la segunda cuenta con una unidad peculiar, la imaginaria, denominada i (cuyo valor es raíz cuadrada de -1).

Pues bien, si intentamos hallar el valor absoluto de un número complejo mediante la regla antes vista, la del cuadrado y raíz, sale cualquier cosa (la norma no funciona). El método correcto consiste en, antes de aplicar la raíz cuadrada, multiplicar el número no por sí mismo, sino por su conjugado complejo, que es como si dijéramos el otro yo con el que se topa el número cuando se mira, cual Narciso, en el espejo del agua. En efecto, el conjugado es el número que tiene la misma parte real, pero la parte imaginaria de signo opuesto; así, si tenemos x + yi, su conjugado será x – yi, como se ilustra en este dibujo:

Esta multiplicación [(x + yi)( x - yi)] se efectúa siguiendo las reglas aritméticas habituales: multiplicando cada término de un paréntesis por los dos del otro y sumando los resultados. Hecho esto, ¡sorpresa! Se obtiene la suma de los cuadrados de las coordenadas x e y, de la que entonces se extraería la raíz cuadrada [√(x² + y²)]. Lo cual significa que el resultado será siempre un número real (las unidades imaginarias se han volatilizado) y positivo (si asumimos, como antes, que la raíz solo admite la solución positiva).

Así las cosas, los matemáticos pronto encuentran una explicación: advertir que lo del conjugado es la auténtica regla general, la expresión completa, que vale para todo tipo de números; la que habíamos empezado estudiando (el simple elevar al cuadrado y sacar la raíz) era sólo un caso especial para números reales, cuya parte imaginaria es 0 [√(x² + 0²)=√x² ].

Además, a poco que nos fijemos, enseguida reconocemos que dicha expresión es también, con arreglo al Teorema de Pitágoras, el valor de la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma ese vector posición al que se asemeja el número complejo con sus coordenadas. Al final, a través de esta vía un tanto torcida de los conjugados complejos, hemos obtenido el mismo resultado que cuando se calcula el módulo o magnitud de un simple vector...

Se trasluce así que el propósito de todas estas operaciones es el mismo. Aquello que sonaba tan abstracto como “obtener el valor absoluto” ha tomado un color más concreto, ya asoma un objetivo práctico, la intención de resolver determinado tipo de problemas. Hay veces en la vida en las que nos interesa cuál es el módulo, la magnitud de los objetos, sin importar para dónde apuntan o hacia dónde tiran. Unos empujan hacia la derecha, otros a la izquierda; unos para arriba y otros para abajo; y los más eligen direcciones intermedias, mirando para allá o para acá. Seguro que a múltiples efectos importa la dirección, pero puede que a otros no: para algún propósito, querremos elegir al que con más ímpetu haya tirado, al que más distancia haya ganado respecto del origen, cualquiera sea su dirección. Esto es el valor absoluto.

¿Y por qué consigue aislarlo el método que nos ocupa, lo de multiplicar el número por su conjugado y aplicarle la raíz cuadrada?

Si nos fijamos en la expresión considerada hasta ahora (la que multiplica los componentes entre sí), es difícil adivinarlo. Pero se hace la luz si tomamos otra perspectiva, utilizando una descripción de un número complejo algo más sofisticada (la polar y exponencial), a la que precisamente aludía en la entrada anterior del Blog:

r *e^iθ

La ventaja de esta expresión es que sus elementos separan nítidamente: por un lado, lo que perseguimos y queremos aislar (el módulo, el valor absoluto, el radio "r") y por otro, lo que nos sobra ("e^iθ"), que es lo que intenta redimensionar dicho radio, pero perpendicularmente ("a la i") y, por tanto, sólo lo rota (en concreto a lo largo de un arco de “θ” radianes).

¿Por qué nos sobra la rotación? Porque, como decía, intentamos averiguar la magnitud de los números. Queremos hacerlo a nuestras anchas, poniéndolos a todos juntitos y alineados, para así compararlos mejor. Qué mejor idea entonces que hacerlo donde empezó todo, en la recta real, lado positivo. Pero esto exige que a los hijos pródigos que salieron de casa, a todos los que tomaron otras direcciones, los traigamos de vuelta, quitándoles la rotación que puedan haber adquirido.

¿Y cómo eliminar esa dichosa rotación? Probemos a multiplicar por el conjugado complejo. El conjugado de r * e^iθ es, conforme a la definición, otro número con el mismo "r" y el "θ" opuesto, o sea, con exponente negativo:

r * e^-iθ

Operamos...

r*e^iθ*r*e^-iθ = r²*e^iθ-iθ = r²*e⁰ = r²*1= r²

Y está claro: comoquiera que, al multiplicar potencias, los exponentes se añaden, la suma de un ángulo y su opuesto da 0; e elevado al adverbio 0 significa que no se multiplica por e (dicho de otra forma, se multiplica por 1). Luego ya hemos conseguido el objetivo: ha desaparecido la rotación, el hijo pródigo ha vuelto a la recta real.

Permítanme aquí regodearme en una explicación más literaria de lo que ha sucedido. Multiplicar un objeto por un número, vengo sosteniendo, es aplicarle un adjetivo, es como tocarlo con una varita mágica y embellecerlo -o afearlo- con un atributo. Y el número complejo no es más que un adjetivo de última generación, que porta dos cualidades: si eres una rana, te hace una rana más grande y encima te pone mirando para otro lado... La multiplicación por el complejo al menos deshace esto último y te devuelve a la posición original...

¡Y atención! Éste es un momento estelar, porque acaba de entrar en escena el elemento implícito al que me refería: un cachorro que pululaba por el supuesto elemental, pero estaba jugando al escondite; ha sido preciso perder el miedo y entrar en la caverna donde vive su  hermano mayor y mirarle a la cara; entonces regresamos al caso elemental y reconocemos al pequeñín, que nos aguarda tan campante, muerto de risa. En efecto, el hermano mayor es la idea de que, cuando un número tiene parte imaginaria (un componente vertical), al multiplicarlo por su complejo, lo rotamos para traerlo de vuelta al suelo. Y el pequeño es el hecho de que lo mismo sucede cuando el número está asentado en la recta real, sin parte imaginaria.

Hombre, cierto es que si pensamos en un +1 (que en forma compleja es e^i2π), al multiplicarlo por su conjugado (e^-i2π= también +1) lo rotamos 360 grados (2π radianes, una vuelta completa), para devolverlo al punto de partida (e^i2πe^-i2π=+1) y todo esto sólo por darle gusto a la regla general. 

Pero si partimos de un -1 (e^iπ), la operación ya no es tan ociosa: aquí la multiplicación por el conjugado (e^-iπ) sí lo mueve; su efecto es rotarlo 180 grados (π radianes, una media vuelta) para traerlo al terreno de las comparaciones, a la vertiente positiva (e^iπe^-iπ=e⁰=+1). Esto explica el pequeño misterio de por qué (-1) por (-1) no significa atribuir, a algo que está ya a la izquierda, la cualidad de "estar más a la izquierda" o, si se quiere, atribuir a algo que denota ausencia, la cualidad de padecer "más ausencia"; la virtud que se regala es otra cosa, es -como vengo indicando- la de ganar medio giro. Éste es, pues, un concepto relativo, que depende de la posición de partida: al que está en casa, lo echa; al que está fuera, lo trae de vuelta.

(En realidad, ésta es una verdad que ya había quedado comentada en entradas anteriores. Es también el motivo de por qué las unidades del eje vertical o imaginario son √-1: multiplicando un radio con valor +1 por -1, lo rotamos 180 grados; para rotarlo 90 grados, deberemos medio-multiplicar por -1, o sea, hacerlo por √-1; esto es, en consecuencia, lo que hay que hacer para convertir una unidad real en otra imaginaria. Pero ojo: esto es así, i o √-1 te manda al eje vertical, porque lo aplicamos a +1, pero si lo aplicáramos a -i, por ejemplo, el efecto es traerlo a la recta real, lado positivo. Es lo que pasa con las rotaciones...)

Bien, pues si "r" fuera la unidad, ya habríamos terminado el trabajo. El problema es que el número complejo replica el original, invirtiendo el ángulo, pero manteniendo el módulo. De este modo, la multiplicación por el complejo "se pasa de frenada": por un lado, nos acerca al objetivo, ya que la suma de un ángulo con su opuesto lo cancela; por otro lado, se aleja de la diana, porque nos trae el módulo, pero inflado, elevado al cuadrado... ¿Solución? Hay que librarse de este efecto colateral obteniendo la raíz cuadrada de ese recién llegado con sobrepeso.

Comprendemos así también aquello que antes nos parecía caprichoso y arbitrario: ¿por qué aquí la raíz cuadrada de +4 no admite las dos soluciones, +2 y -2? Así de estúpida es la respuesta: ¡porque lo que buscamos, lo que queremos obtener es +2 y si admitiéramos el -2 no lo conseguiríamos!

(Por cierto, otra forma de regresar al módulo sería dividiendo por el mismo. Como veremos en su momento, esta observación será útil en otro contexto. Aquí no, porque no tendría sentido pedir que se divida por un módulo que no conocemos hasta que no sacamos esa raíz cuadrada que se pretendería sustituir...)

En conclusión, hemos alcanzado felizmente todos nuestros objetivos. Hemos resuelto los pequeños enigmas planteados y lo hemos logrado con la técnica propuesta:

- El método del conjugado complejo funciona porque es la forma de satisfacer el fin que perseguimos (poner los números en la recta real, vertiente positiva) y así resolver el problema práctico que nos ocupa (comparar los objetos de forma homogénea, averiguando cuál ha ganado más distancia respecto del origen, cuál tiene más magnitud o módulo, abstracción hecha de sus respectivas orientaciones…)

- Gracias a esto, a complicar las cosas, a subir al escalón siguiente, hemos comprendido que ese método complejo y el elemental son de la misma familia; conocer al hermano mayor (el conjugado rota de vuelta a casa, desde cualquier punto del espacio) nos ha permitido descubrir al benjamín, que estaba presente, pero implícito, en el supuesto sencillo (también se rota cuando se trae al -1 a casa, aunque aquí se trata de una rotación más simple, sin parte imaginaria). Esto ha sido la clave para dar sentido a unas reglas que parecían arbitrarias: por qué negativo por negativo da positivo (porque la cualidad que atribuye -1 no es "izquierda" sino "medio giro", desde donde toque) y por qué aquí la raíz cuadrada sólo admite la solución positiva (porque si no, no conseguimos lo que queremos...).

Todo esto, adelanto, tiene una secuela muy interesante cuando se advierte que los propios vectores pueden estar compuestos de números reales o complejos, se observa también que estos componentes pueden ser infinitos (como pasa en las funciones) y, con este bagaje, se analizan las transformaciones de Fourier. En ese punto, todo lo comentado hoy se revela como muy útil, ¡de la misma manera que tales complicaciones iluminan aspectos que siguen implícitos en esta explicación más elemental!
Son ésas, sin embargo, tareas más o menos arduas que pueden esperar.

¿Y lo del sentido la vida? -se estarán Ustedes preguntando, con educada impaciencia. También podrá esperar... :) Vamos a ver si consigo entender lo de Fourier (ando en ello y no es fácil…). Después de eso, ¡lo del sentido de la vida, se lo aseguro, debe de ser juego de niños! Pero no piensen que la idea es una boutade, por favor: el sentido de la vida guarda alguna relación con los conjugados complejos, así es sin duda, aunque me encuentro en fase todavía preliminar de una prometedora investigación. Y no diré más.

APÉNDICE: una demostración del Teorema de Pitágoras

Veo que en Wikipedia se enumeran diversas demostraciones de este viejo Teorema. No quiero dejar de exponer la mía. Seguro que ya está dicho por alguien en alguna parte, pero por si acaso.

En forma polar y exponencial, un número complejo se representa como r*e^iθ. Este r es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que forma con las coordenadas del número (x,y). Buscamos el valor absoluto de esa hipotenusa (r). Para obtenerlo, debemos, en primer lugar, rotar el número hasta la recta real, vertiente positiva, lo que se consigue multiplicando por el conjugado:

r*e^iθ*r*e^-iθ = r²*e^iθ-iθ = r²*e⁰ = r²*1= r²

Pero si hacemos esta misma operación (multiplicar por el conjugado) por componentes, el resultado es:

(x + yi)( x - yi) = x² + y²

Por consiguiente:

r² = x² + y² à r = √(x² + y²)